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Eine unitäre Matrix ist in der linearen Algebra eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer unitären Matrix gleichzeitig ihre Adjungierte.

Durch Multiplikation mit einer unitären Matrix bleibt sowohl die euklidische Norm als auch das Standardskalarprodukt zweier Vektoren erhalten. Jede unitäre Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen kann nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch eine unitäre Matrix dargestellt werden. Die Menge der unitären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die unitäre Gruppe.

Unitäre Matrizen werden unter anderem bei der Singulärwertzerlegung, der diskreten Fourier-Transformation und in der Quantenmechanik eingesetzt. Eine reelle unitäre Matrix wird orthogonale Matrix genannt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine komplexe quadratische Matrix   heißt unitär, wenn das Produkt mit ihrer adjungierten Matrix   die Einheitsmatrix   ergibt, also

 

gilt. Werden die Spaltenvektoren der Matrix   mit   bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass stets das Standardskalarprodukt zweier Spaltenvektoren

 

ergibt, wobei   das Kronecker-Delta ist. Die Spaltenvektoren einer unitären Matrix bilden damit eine Orthonormalbasis des Koordinatenraums  . Dies trifft auch für die Zeilenvektoren einer unitären Matrix zu, denn mit   ist auch die transponierte Matrix   unitär. Zudem ist auch die Adjungierte einer unitären Matrix unitär, es gilt also

 .

BeispieleBearbeiten

Die Matrix

 

ist unitär, denn es gilt

 .

Auch die Matrix

 

ist unitär, denn es gilt

 .

Allgemein ist jede orthogonale Matrix unitär, denn für Matrizen mit reellen Einträgen entspricht die Adjungierte der Transponierten.

EigenschaftenBearbeiten

InverseBearbeiten

Eine unitäre Matrix   ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit ihrer Zeilen- und Spaltenvektoren stets regulär. Die Inverse einer unitären Matrix ist dabei gleich ihrer Adjungierten, das heißt, es gilt

 .

Die Inverse einer Matrix   ist nämlich gerade diejenige Matrix  , für die

 

gilt. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix  , deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, ist unitär, denn es gilt dann

 .

Invarianz von Norm und SkalarproduktBearbeiten

Wird ein Vektor   mit einer unitären Matrix   multipliziert, ändert sich die euklidische Norm des Vektors nicht, das heißt

 .

Weiter ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren   invariant bezüglich der Multiplikation mit einer unitären Matrix  , also

 .

Beide Eigenschaften folgen direkt aus der Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts. Daher stellt die Abbildung

 

eine Kongruenzabbildung im unitären Raum   dar. Umgekehrt ist die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis jeder linearen Abbildung im  , die das Standardskalarprodukt erhält, unitär. Aufgrund der Polarisationsformel gilt dies auch für die Abbildungsmatrix jeder linearen Abbildung, die die euklidische Norm erhält.

DeterminanteBearbeiten

Für den Betrag der Determinante einer unitären Matrix   gilt

 ,

was mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes über

 

folgt.

EigenwerteBearbeiten

Die Eigenwerte einer unitären Matrix   haben ebenfalls alle den komplexen Betrag eins, sind also von der Form

 

mit  . Ist nämlich   ein zu   gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Invarianz bezüglich der euklidischen Norm und der absoluten Homogenität einer Norm

 

und daher  .

DiagonalisierbarkeitBearbeiten

Eine unitäre Matrix   ist normal, das heißt, es gilt

 ,

und daher diagonalisierbar. Nach dem Spektralsatz gibt es eine weitere unitäre Matrix  , sodass

 

gilt, wobei   eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von   ist. Die Spaltenvektoren von   sind dann paarweise orthonormale Eigenvektoren von  . Damit sind auch die Eigenräume einer unitären Matrix paarweise orthogonal.

NormenBearbeiten

Die Spektralnorm einer unitären Matrix   ist

 .

Für die Frobeniusnorm gilt mit dem Frobenius-Skalarprodukt entsprechend

 .

Das Produkt mit einer unitären Matrix erhält sowohl die Spektralnorm, als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix  , denn es gilt

 

und

 .

Damit bleibt auch die Kondition einer Matrix bezüglich dieser Normen nach Multiplikation mit einer unitären Matrix erhalten.

Erhaltung der IdempotenzBearbeiten

Ist   eine unitäre und   eine idempotente Matrix, gilt also  , dann ist die Matrix

 

ebenfalls idempotent, denn

 .

Unitäre Matrizen als GruppeBearbeiten

Hauptartikel: Unitäre Gruppe

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe  . Als neutrales Element dient dabei die Einheitsmatrix  . Die unitären Matrizen bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die unitäre Gruppe  . Das Produkt zweier unitärer Matrizen   ist nämlich wieder unitär, denn es gilt

 .

Weiter ist die Inverse einer unitären Matrix   ebenfalls unitär, denn es gilt

 .

Die unitären Matrizen mit Determinante eins bilden wiederum eine Untergruppe der unitären Gruppe, die spezielle unitäre Gruppe  . Die unitären Matrizen mit Determinante minus eins bilden keine Untergruppe der unitären Gruppe, denn ihnen fehlt das neutrale Element, sondern lediglich eine Nebenklasse.

VerwendungBearbeiten

MatrixzerlegungenBearbeiten

Mit Hilfe einer Singulärwertzerlegung lässt sich jede Matrix   als Produkt

 

einer unitären Matrix  , einer Diagonalmatrix   und der Adjungierten einer weiteren unitären Matrix   darstellen. Die Diagonaleinträge der Matrix   sind dann die Singulärwerte von  .

Eine quadratische Matrix   kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

 

einer unitären Matrix   und einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix   faktorisiert werden.

Unitäre AbbildungenBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler komplexer Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung   nach Wahl einer Orthonormalbasis   für   durch die Abbildungsmatrix

 

darstellen, wobei   für   ist. Die Abbildungsmatrix   ist nun genau dann unitär, wenn   eine unitäre Abbildung ist. Dies folgt aus

 ,

wobei   und   sind.

Physikalische AnwendungenBearbeiten

Unitäre Matrizen werden auch häufig in der Quantenmechanik im Rahmen der Matrizenmechanik verwendet. Beispiele sind:

Eine weitere wichtige Anwendung unitärer Matrizen besteht in der diskreten Fourier-Transformation komplexer Signale.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten