In der linearen Algebra wird durch eine Polarisationsformel eine symmetrische Bilinearform beziehungsweise eine Sesquilinearform mithilfe ihrer zugehörigen quadratischen Form dargestellt.

Ein wichtiger Anwendungsfall ist die Darstellung des Skalarproduktes eines Innenproduktraumes durch die zugehörige induzierte Norm . Umgekehrt kann man fragen, ob eine gegebene Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt, das Skalarprodukt kann dann mittels Polarisation aus dem Quadrat der Norm bestimmt werden.

Der reelle Fall (symmetrische Bilinearform)Bearbeiten

Es seien   ein Vektorraum über dem Körper   und   eine symmetrische Bilinearform, d. h.

 

für alle  ,  .

Ihre zugehörige quadratische Form   wird dann definiert durch

 

Umgekehrt wird die symmetrische Bilinearform   durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Dies drückt die Polarisationsformel aus: Es gilt

 

Dass dies nicht für beliebige (also auch nicht symmetrische) Bilinearformen gilt, zeigt das folgende Beispiel. Mit Hilfe der Matrizen

 

seien die Bilinearformen   gegeben durch

 

Dann sind   und   verschieden, definieren aber dieselbe quadratische Form.

Der komplexe Fall (Sesquilinearform)Bearbeiten

Es seien   ein Vektorraum über dem Körper   und   eine (nicht notwendigerweise hermitesche) Sesquilinearform. Ihre zugehörige quadratische Form   wird wie im reellen Fall definiert durch

 

Auch eine Sesquilinearform ist durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Für Sesquilinearformen lautet die Polarisationsformel:

 

falls   im ersten Argument semilinear ist und

 

falls   im zweiten Argument semilinear ist.

LiteraturBearbeiten