Parallelogrammgleichung

mathematischer Satz

Die Parallelogrammgleichung (auch Parallelogrammgesetz oder Parallelogrammidentität) ist ein mathematischer Satz, der seine Ursprünge in und seinen Namen von der elementaren Geometrie hat, aber in sehr ähnlicher Formulierung auch für komplexe Zahlen und Vektoren in Innenprodukträumen gilt.

Anwendung in der GeometrieBearbeiten

 
Bezeichnungen am Parallelogramm

SatzBearbeiten

In einem Parallelogramm mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f gilt:

 

BeweiseBearbeiten

Der Satz folgt direkt und in besonders einfacher Weise aus dem Satz des Pythagoras. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe   auf der linken Seite bei der Diagonalen f mit den Abschnitten q. Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen

 
 

Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt  . Eine dritte Anwendung liefert   womit der Satz bewiesen ist.

Der Beweis ist mit dem Kosinussatz sehr einfach:

 ,

da   und   ist.

 
Zwei Vektoren   und   spannen ein Parallelogramm auf

In der Schule eignet sich in der linearen Algebra der Beweis mit Vektoren und Skalarprodukt:

Mit   und   gilt

 .

Verallgemeinerung und UmkehrungBearbeiten

Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen:

 

wobei   den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet.

Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist   und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall.

Umgekehrt folgt: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist  . Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm.

Anwendung für komplexe ZahlenBearbeiten

SatzBearbeiten

Für zwei komplexe Zahlen z,w gilt:

 

BeweisBearbeiten

Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene interpretiert, in der z und w dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen z+w und z-w aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten. Unter Benutzung von   für jede komplexe Zahl   gilt:

 
 
 
 
 

Die Gleichung in VektorräumenBearbeiten

Die Betrachtung in Prähilberträumen stellt die am meisten abstrahierte Betrachtung dar. Selbstverständlich lassen sich die Aussagen der beiden vorhergehenden Abschnitte mit dem nun folgenden Satz beweisen (zum einen mit den Mitteln der analytischen Geometrie, zum anderen durch die Zurückführung von   auf einen zweidimensionalen  -Vektorraum unter Definition einer Multiplikation und einer Norm), dennoch sind die jeweiligen Beweise mit den je zur Verfügung stehenden Mitteln sicher nicht überflüssig.

SatzBearbeiten

In Prähilberträumen, also Vektorräumen, in denen ein Skalarprodukt definiert ist, (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt:

 

wobei   die durch das Skalarprodukt (positiv semidefinite innere Produkt) induzierte Norm (Halbnorm) ist.

BeweisBearbeiten

Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Innenprodukt eines jeden Innenproduktraums bezüglich der Addition für beide Argumente linear ist (siehe Definition des Innenprodukts und Sesquilinearform). Dann erhält man:

 
 
 
 

UmkehrungBearbeiten

Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in normierten Vektorräumen, deren Norm nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der Satz von Jordan-von Neumann (nach Pascual Jordan und John von Neumann): Gilt in einem normierten Vektorraum   die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt  , das die Norm erzeugt, das heißt, für alle   gilt

 

Dieses Skalarprodukt kann durch eine Polarisationsformel definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch

 

und im komplexen Fall durch

 

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Beweis zur Parallelogrammgleichung – Lern- und Lehrmaterialien