In der Mathematik versteht man unter einer Halbnorm (oder unter einer Seminorm)[A 1] ein Funktional, das sowohl absolut homogen als auch subadditiv ist. Mit dem Konzept der Halbnorm wird das Konzept der Norm verallgemeinert, indem auf die Eigenschaft der positiven Definitheit verzichtet wird. Jede Halbnorm ist nichtnegativ, symmetrisch bezüglich Vorzeichenumkehr, sublinear und konvex. Aus jeder Halbnorm kann durch Restklassenbildung eine zugehörige Norm abgeleitet werden. Mit Hilfe von Familien von Halbnormen können auch lokalkonvexe Vektorräume definiert werden. Halbnormen werden insbesondere in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis studiert. Eng verwandt mit dem Konzept der Halbnorm ist das Konzept des Minkowski-Funktionals.

Die Funktion ist eine Halbnorm im Raum

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über dem Körper  . Eine Halbnorm auf   ist eine Abbildung   mit den Eigenschaften absolute Homogenität und Subadditivität,[1] das heißt für alle   und für alle   gelten

    (absolute Homogenität)

und

    (Subadditivität),

wobei   den Betrag des Skalars darstellt. Ein Vektorraum zusammen mit einer Halbnorm heißt halbnormierter Raum  .

BeispieleBearbeiten

  • Jede Norm ist eine Halbnorm, die zudem auch positiv definit ist.
  • Die Nullfunktion  , die jedes Element des Vektorraums auf Null abbildet, ist eine Halbnorm.
  • Der Betrag einer reell- oder komplexwertigen linearen Funktion ist eine Halbnorm.
  • Jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform oder – im komplexen Fall – hermitesche Sesquilinearform  induziert durch Setzung von   eine Halbnorm. Hierbei geht ein, dass die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform) gilt, woraus sich die Subadditivität folgern lässt.
  • Ist   ein topologischer Raum und   kompakt, so ist durch   eine Halbnorm auf dem Raum aller stetigen Funktionen   gegeben. Hier wird verwendet, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind und daher das Supremum endlich bleibt.
  • Das Minkowski-Funktional   zu einer absorbierenden, absolutkonvexen Teilmenge   eines Vektorraumes.
  • Auf dem Dualraum   eines normierten Raumes definiert   für   und   eine Halbnorm.
  • Auf der Menge   der beschränkten linearen Operatoren lassen sich durch   ( ) sowie durch   ( ) Halbnormen definieren.

EigenschaftenBearbeiten

Durch Setzen von   in der Definition folgt sofort

 ,

die Halbnorm des Nullvektors ist damit null. Im Gegensatz zu Normen kann es aber auch Vektoren   geben, deren Halbnorm   ist. Durch Setzen von   folgt dann aus der Subadditivität (auch Dreiecksungleichung genannt) und der absoluten Homogenität die Nichtnegativität

 

für alle  . Durch Setzen von   sieht man weiter, dass eine Halbnorm symmetrisch bezüglich Vorzeichenumkehr ist, das heißt

 

und aus der Anwendung der Dreiecksungleichung auf   folgt daraus dann die umgekehrte Dreiecksungleichung

 .

Weiter ist eine Halbnorm sublinear, da absolute Homogenität positive Homogenität impliziert, und auch konvex, denn es gilt für reelles  

 .

Umgekehrt ist jede absolut homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit eine Halbnorm, was durch Setzen von   und Multiplikation mit   ersichtlich ist.

RestklassenbildungBearbeiten

Aufgrund der absoluten Homogenität und der Subadditivität ist die Menge

 

der Vektoren mit Halbnorm null ein Untervektorraum von  . Daher kann eine Äquivalenzrelation auf   durch

 

definiert werden. Der Vektorraum   aller Äquivalenzklassen aus obiger Äquivalenzrelation ist zusammen mit der Halbnorm   ein normierter Raum. Man nennt diesen Vorgang Restklassenbildung in   bezüglich der Halbnorm und bezeichnet   als Faktorraum  . Diese Konstruktion kommt beispielsweise bei der Definition der Lp-Räume zum Einsatz.

Familie von HalbnormenBearbeiten

In der Funktionalanalysis werden im Bereich der lokalkonvexen Vektorräume nicht zuletzt Familien   von Halbnormen betrachtet. Mit diesen kann es möglich sein, auf dem ursprünglichen Vektorraum   eine Topologie zu definieren, die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht. Dazu legt man fest, dass die Menge   offen ist, falls für   ein   und endlich viele Indizes   existieren, sodass

 

für alle   gilt.

In diesem Zusammenhang sind Familien mit einer bestimmten Trennungseigenschaft von besonderem Interesse. Eine Familie von Halbnormen   heißt trennend, falls es für jedes   mindestens eine Halbnorm   gibt, so dass   gilt. Ein Vektorraum   ist nämlich genau dann bezüglich der oben erklärten Topologie hausdorffsch, wenn die Familie von Halbnormen trennend ist. Solch ein topologischer Vektorraum wird lokalkonvexer Vektorraum genannt.[2]

Ein Satz von GelfandBearbeiten

In der Funktionalanalysis gehört zu den zahlreichen Resultaten, die hier von dem Mathematiker Izrail M. Gelfand geliefert wurden, ein Satz, der die Frage behandelt, wie die Halbnormen auf einem reellen normierten Raum   mit der gegebenen Norm verknüpft sind. Der Satz geht auf eine Arbeit Gelfands aus dem Jahr 1936 zurück.[3]

Formulierung des SatzesBearbeiten

Anknüpfend an die Darstellung in der Monographie von Kantorowitsch/Akilow lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:[4]

Gegeben seien ein normierter  -Vektorraum   und darauf eine numerische Funktion  , welche die oben genannten Eigenschaften einer Halbnorm aufweist.[A 2]
Dabei sei   unterhalbstetig und zudem existiere in   eine Teilmenge zweiter Kategorie   mit der Eigenschaft, dass für alle   die Ungleichung   gilt.
Dann gibt es eine Konstante   mit   für alle  .

LiteraturBearbeiten

  • Izrail M. Gelfand: Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires. In: Sap. matem. t-wa. Band 4, 1936, S. 35–40.
  • L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1 (MR0458199).
  • Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).

AnmerkungenBearbeiten

  1. Damit verwandt, aber nicht identisch sind Quasinormen und Pseudonormen.
  2. In ihrer Monographie bezeichnen Kantorowitsch und Akilow eine derartige numerische Funktion   auf einem reellen normierten Raum als konvexes Funktional. Dabei lassen sie ausdrücklich auch   als  -Wert zu und fordern dabei die absolute Homogenität allein für   mit  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 24–25.
  2. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 26–27.
  3. Kantorowitsch/Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. 1978, S. 206–207
  4. Kantorowitsch/Akilow, op. cit., S. 206

WeblinksBearbeiten