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Eine Skalarproduktnorm, Innenproduktnorm oder Hilbertnorm ist in der Mathematik eine von einem Skalarprodukt induzierte (abgeleitete) Norm. In einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt entspricht die Skalarproduktnorm gerade der euklidischen Norm. Allgemein besitzt jeder Prähilbertraum eine zugeordnete Skalarproduktnorm und ist mit dieser Norm ein normierter Raum. Eine Norm ist dabei genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfüllt. Jede Skalarproduktnorm erfüllt weiterhin die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und ist invariant unter unitären Transformationen.

DefinitionBearbeiten

 
Beziehungen zwischen Skalarprodukt, Norm und Metrik

Ist   ein Vektorraum über den Körper   der reellen oder komplexen Zahlen und   ein Skalarprodukt auf  , dann ist   ein Skalarproduktraum. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist für einen Vektor   dann definiert als

 ,

also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist.

Diese Norm heißt auch Skalarproduktnorm,[1] Innenproduktnorm[2] oder Hilbertnorm[3] und wird in reellen Skalarprodukträumen gelegentlich als (allgemeine) euklidische Norm bezeichnet.[4][5] Mit der Skalarproduktnorm ist der Vektorraum   ein normierter Raum  . Weiterhin ist   mit der von der Norm induzierten Metrik   ein metrischer Raum   und mit der Normtopologie   ein topologischer Raum  .

BeispieleBearbeiten

Wichtige Beispiele für Skalarproduktnormen sind:

EigenschaftenBearbeiten

NormaxiomeBearbeiten

 
Vektoren in der Dreiecksungleichung

Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt für   aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über

 ,

die absolute Homogenität folgt für   und   aus

 

und die Subadditivität (oder Dreiecksungleichung) folgt für   über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (siehe den folgenden Abschnitt) aus

 

wobei   den Realteil der komplexen Zahl angibt und in den beiden letzten Fällen noch die (positive) Wurzel auf beiden Seiten gezogen werden muss.

ParallelogrammgleichungBearbeiten

 
Vektoren in der Parallelogrammgleichung

Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung

 

für alle Vektoren  . Umgekehrt gilt nach dem Satz von Jordan-von Neumann: erfüllt eine Norm   die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine Polarisationsformel, bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch

 .

Unitäre InvarianzBearbeiten

Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin invariant unter unitären Transformationen. Ist   ein unitärer Operator (im endlichdimensionalen Fall eine unitäre bzw. orthogonale Matrix) von   in einen weiteren Skalarproduktraum   mit zugehöriger Norm, dann gilt

 ,

was unmittelbar aus

 

folgt, wobei   der zu   adjungierte Operator (im endlichdimensionalen Fall die adjungierte bzw. transponierte Matrix) ist. Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.

Cauchy-Schwarz-UngleichungBearbeiten

Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren   die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

 ,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn   und   linear abhängig sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar

 ,

daher kann man den Winkel   zwischen zwei reellen Vektoren über

 

definieren. Der Winkel   liegt damit im Intervall  , also zwischen   und  . Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.[6]

Satz des PythagorasBearbeiten

Allgemein werden zwei Vektoren   orthogonal genannt, wenn ihr Skalarprodukt   ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume

 ,

was direkt aus dem ersten Teil der obigen Herleitung der Dreiecksungleichung folgt. Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren   erweitert werden und es gilt dann

 .

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung.

VerallgemeinerungBearbeiten

Verzichtet man auf die positive Definitheit des Skalarprodukts, erhält man die folgende Verallgemeinerung. Jede positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform (im reellen Fall symmetrische Bilinearform)   induziert für   durch

 

eine Halbnorm. Mit dieser Halbnorm ist dann   ein halbnormierter Raum, der aber im Allgemeinen kein metrischer Raum ist. Durch Restklassenbildung lässt sich aus einer Halbnorm aber eine zugehörige Norm ableiten und so erhält man wieder einen normierten Raum und damit auch einen metrischen und einen topologischen Raum.

BeispielBearbeiten

Die Kovarianz ist eine Bilinearform auf dem Raum der Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten, und wird zu einem Skalarprodukt auf dem Quotientenraum der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die Standardabweichung einer Zufallsvariablen.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter, 2010, S. 100.
  2. Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 2006, S. 148.
  3. Amann, Escher: Analysis I. 2006, S. 168.
  4. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 368.
  5. Beutelspacher: Lineare Algebra. 2003, S. 259.
  6. Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.