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Der Quotientenvektorraum, auch kurz Quotientenraum oder Faktorraum genannt, ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraums entsteht. Die Elemente des Quotientenvektorraumes sind Äquivalenzklassen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Vektorraum über einem Körper   und   ein Untervektorraum von  . Durch die Festsetzung

  für  

wird auf   eine Äquivalenzrelation definiert.

Die Vektoren   und   sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus   unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte   und   parallel zu   ist, sind   und   äquivalent.

Die Äquivalenzklasse eines Punktes   ist

 ,

anschaulich der zu   „parallele“ affine Unterraum durch  . Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie).

Der Quotientenvektorraum von   nach   ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit   bezeichnet:

 .

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

  •  
  •  

für   und  .

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.

EigenschaftenBearbeiten

  • Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung
 .
  • Ist   ein Komplement von   in  , d. h. ist   die direkte Summe von   und  , so ist die Einschränkung von   auf   ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit,   als Unterraum von   aufzufassen.
  • Ist   endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:
 
  • Der Dualraum von   kann mit denjenigen Linearformen auf   identifiziert werden, die auf   identisch   sind.
  • Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung   einen Isomorphismus
 
zwischen dem Quotientenraum von   nach dem Kern von   und dem Bild von   induziert, d. h. die Verkettung
 
ist gleich  .

Anwendung in der FunktionalanalysisBearbeiten

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei   ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei   eine Halbnorm auf  . Dann ist   ein Untervektorraum von  . Der Quotientenraum   wird dann mit der Norm   ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei   ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren:  . Der Quotientenraum   wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

BeispieleBearbeiten

AbstraktBearbeiten

Die  -Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Quotientenvektorräume.

KonkretBearbeiten

Gegeben sei der Vektorraum   und der eindimensionale Untervektorraum  . Dann ist zum Beispiel

 

eine Äquivalenzklasse des Quotientenraumes  .

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten