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Graph der Quadratwurzelfunktion
In doppeltlogarithmischer Darstellung wird der Graph der Quadratwurzelfunktion zu einer Geraden mit Steigung 12.

Die Quadratwurzel (umgangssprachlich Wurzel; englisch square root, kurz sqrt) einer nichtnegativen Zahl ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist. Das Symbol für die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen , die Quadratwurzel der Zahl wird also durch dargestellt. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken: ist gleichwertig mit Zum Beispiel ist wegen und die Quadratwurzel von gleich .

Da die Gleichung für zwei Lösungen hat, definiert man üblicherweise die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Lösungen, d. h., es gilt immer Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist. Die beiden Lösungen der Gleichung sind somit und

Vorbemerkung zu den DefinitionenBearbeiten

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

  • Wenn man sich auf nichtnegative rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl   keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2).
  • Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen   auch die Zahl   ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus  .

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort „radix“ (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel   anstelle von  

Im Englischen wird die Quadratwurzel als „square root“ bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung „sqrt“ für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen ZahlenBearbeiten

 
Schaubild der Quadratfunktion (rot und blau). Durch Spiegelung allein der blauen Hälfte an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten entsteht das Schaubild der Quadratwurzelfunktion (grün).

Definition: Die Quadratwurzel   einer nichtnegativen reellen Zahl   ist diejenige nichtnegative reelle Zahl  , deren Quadrat   gleich   ist.

Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden: Sei

 

die (bijektive) Einschränkung der Quadratfunktion auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion dieser Funktion   heißt Quadratwurzelfunktion  

BemerkungenBearbeiten

  • Zu beachten ist, dass die durch   erklärte Quadratfunktion für alle reellen Zahlen definiert, aber nicht umkehrbar ist. Sie ist weder injektiv noch surjektiv.
  • Die Einschränkung   der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt. Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von   auftreten, ist die reelle Wurzelfunktion nur für diese Zahlen definiert.
  • Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschränkung von   auf nichtnegative reelle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen. Die Einschränkung der Quadratfunktion auf andere Teilmengen von  , in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben, würde zu anderen Umkehrfunktionen führen, diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln
Radikand Quadratwurzel Radikand Quadratwurzel
1 1 121 11
4 2 144 12
9 3 169 13
16 4 196 14
25 5 225 15
36 6 256 16
49 7 289 17
64 8 324 18
81 9 361 19
100 10 400 20

Eigenschaften und RechenregelnBearbeiten

Die Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion ergeben sich aus den Eigenschaften der auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen eingeschränkten Quadratfunktion:

  •   für  .
  •   für  .
  •  , d. h., die Quadratwurzelfunktion ist streng monoton wachsend.
  •   gilt mit dem reellen Betrag für beliebige reelle Zahlen  .
  • Dagegen gilt   nur für nichtnegatives  .
  • Die Quadratwurzelfunktion ist auf   differenzierbar, dort gilt  .
  • An der Stelle 0 ist sie nicht differenzierbar, ihr Schaubild besitzt dort eine senkrechte Tangente mit der Gleichung  .
  • Sie ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall   ihres Definitionsbereichs Riemann-integrierbar, eine ihrer Stammfunktionen ist  .

Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen ZahlenBearbeiten

Rationale (Näherungs-) Werte
einiger Quadratwurzeln
 

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, deren Dezimalbruchentwicklung also ein nichtperiodischer, nicht abbrechender Dezimalbruch ist (nämlich genau dann, wenn das Ergebnis nicht natürlich ist). Die Berechnung einer Quadratwurzel, die keine rationale Zahl ist, besteht also darin, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu bestimmen. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

Schriftliches Wurzelziehen
Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
Intervallschachtelung
Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.
Beispiel (Näherungswert für  ):
Aus   und   folgt, dass   zwischen 1 und 2 liegt. Daher probiert man  ,   usw. durch. Aus   und   erkennt man, dass   zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss. Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:
 
Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren
Dieses Iterationsverfahren wird häufig bei der Programmierung der Wurzelberechnung für Taschenrechner verwendet, da es schnell konvergiert. Es handelt sich um das Newton-Verfahren zum Auffinden von Nullstellen, angewandt auf die Funktion  .
Taylorreihen-Entwicklung
Die Taylorreihen-Entwicklung der Wurzelfunktion   mit Entwicklungsstelle   kann als Taylor-Entwicklung von   um die Stelle   als binomische Reihe
 
gefunden werden, weil diese Reihe für   punktweise gegen   konvergiert. Mit   ergibt das
  für  
Berechnung mittels CORDIC-Algorithmus
Dieses Verfahren wird vor allem in Rechenwerken, FPUs und Mikrocontrollern eingesetzt.

Ermittlung der Quadratwurzel auf grafischem WegeBearbeiten

Eine Möglichkeit bietet der Kathetensatz: Die Zahl  , deren Quadratwurzel gesucht ist, wird auf einer Zahlengeraden von   aus aufgetragen. Über der Strecke zwischen   und   wird ein Halbkreis mit Radius   gezeichnet (Thaleskreis). Bei   wird ein Lot zur Grundlinie errichtet, das den Halbkreis schneidet (Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks). Der Abstand dieses Schnittpunkts zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel von   (Kathete).

Quadratwurzeln aus komplexen ZahlenBearbeiten

 
Das Wurzelziehen entspricht in der komplexen Ebene einer Winkelhalbierung. Beispiel:  

Ist   eine von Null verschiedene komplexe Zahl, so besitzt die Gleichung

 

genau zwei Lösungen für  , die man auch als Wurzeln oder Quadratwurzeln von   bezeichnet. Diese liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf den beiden Schnittpunkten des Kreises um 0 mit dem Radius   und der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den von   ausgehenden Strahlen durch   bzw.  . Diejenige der beiden Wurzeln, die in der rechten Halbebene liegt, nennt man den Hauptwert (engl. principal value) der Wurzel. Für negatives (reelles)   ist die Wurzel mit positivem Imaginärteil der Hauptwert.

Schreibt man die komplexe Zahl   in der Form

 

wobei   und   reell sind mit   und  , so gilt für den Hauptwert der Wurzel:

 

Der zweite Wurzelwert (der Nebenwert) ergibt sich durch Punktspiegelung (180°-Drehung) am Nullpunkt:

 

DefinitionBearbeiten

Die komplexe Funktion „Quadriere z“,   besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion, denn sie ist nicht injektiv, aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen surjektiv, das heißt, jede komplexe Zahl ist das Quadrat einer komplexen Zahl. Man kann daher analog zu den reellen (nichtnegativen) Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren, indem man eine Einschränkung des Definitionsbereichs von   auf eine Teilmenge   der komplexen Zahlen vornimmt, auf der   injektiv ist und surjektiv bleibt. Je nachdem, welche Teilmenge man dafür auswählt, erhält man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion.

Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich, wenn man als Definitionsbereich von  

 

zugrunde legt, dies ist die rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene, wobei von deren Rand nur die Zahlen mit nichtnegativem Imaginärteil zu   gehören. Die Einschränkung von   auf   ist eine bijektive Abbildung von   auf die komplexen Zahlen, daher ist ihre Umkehrfunktion, der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz   definiert. Den Wert   dieser Umkehrfunktion nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von  . Wenn mit   eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist, dann ist es dieser Hauptwert.

Ist   in kartesischen Koordinaten gegeben, also   mit reellen Zahlen   und  , dann ergibt sich

 

für den Hauptwert der Quadratwurzel, wobei die Funktion   für negative   den Wert −1 und ansonsten (also auch für   und damit anders als bei der Vorzeichenfunktion  ) den Wert 1 hat:

 

Der einzige Nebenzweig von   ist  

Ist   in Polarkoordinaten gegeben,   mit  , dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel durch

 

gegeben, wobei   die reelle (nichtnegative) Quadratwurzel von   ist. Der Nebenwert ergibt sich wieder als  .

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Beim Hauptwert wird das Argument   („der Winkel von z“, s. u.) halbiert. Die andere Lösung ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung.

Das Argument einer komplexen Zahl   ist der orientierte Winkel   in der komplexen Zahlenebene, die Punkte sind     und   in reellen Koordinaten. Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von   und das Argument von   farbig gekennzeichnet.

Beispiel: Berechnung einer komplexen QuadratwurzelBearbeiten

Gesucht sind die Quadratwurzeln aus   Zunächst wird der Betrag des Radikanden ermittelt:

 

Damit ergibt sich der Hauptwert der Quadratwurzel zu

 

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

 

PotenzgesetzBearbeiten

Das Potenzgesetz

 

gilt bei   nicht für alle  , auch nicht für die Hauptwerte der Wurzeln.
Das sieht man schon an dem sich durch die weitere Spezifizierung   ergebenden Spezialfall

 

der sich wegen der Identität   zu

 

vereinfachen lässt, wonach offenbar schon jede negative Zahl ein Gegenbeispiel liefert, etwa  :

Wegen   und   hat der Hauptwert von   das Argument  , während der Hauptwert von   das Argument   hat.[1]
Bemerkungen
  1. Da Hauptwerte von Wurzeln aus positiven Radikanden positiv sein müssen, zeigt das Gegenbeispiel, dass es eine Quadratwurzelfunktion, für die das Potenzgesetz   für alle   gilt, nicht geben kann.
  2. Für   und beliebige   kann man in   die „Vorzeichen“ von zwei der drei Wurzeln frei wählen, wonach genau eine Möglichkeit für das „Vorzeichen“ der letzten dritten übrig bleibt.

Quadratwurzeln modulo nBearbeiten

Auch im Restklassenring   lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt   eine Quadratwurzel von  , wenn gilt:

 

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo   anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln. Um die Quadratwurzeln von   modulo   zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung

 

des Moduls   und anschließend die Lösungen modulo der einzelnen Primzahlpotenzen  . Diese Lösungen setzt man schließlich unter Anwendung des Chinesischen Restsatzes zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl pBearbeiten

Der Fall   ist einfach: Wegen   und   hat modulo 2 jede Zahl eine eindeutig bestimmte Quadratwurzel, nämlich sich selbst. Für Primzahlen   ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln von   so:

Um zu testen, ob   überhaupt eine Quadratwurzel in   hat, berechnet man den Wert des Legendre-Symbols

 ,

denn es gilt:

 

Im ersten Falle besitzt   keine Quadratwurzel in   und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im Folgenden an, dass   gilt.

Berechnung für den Fall p mod 4 = 3Bearbeiten

Ist das Legendre-Symbol   gleich 1, dann sind

 

die beiden Quadratwurzeln von   modulo  .

Berechnung für den Fall p mod 4 = 1Bearbeiten

Ist das Legendre-Symbol   gleich 1, dann sind

 

die beiden Quadratwurzeln von   modulo  . Hierbei wählt man   so, dass

 

gilt. Dazu kann man einfach verschiedene Werte von   testen. Die Folge   ist rekursiv durch

 

definiert.

Rechenbeispiel für   und  :

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von   durch

 

gegeben. Für   findet man durch Probieren den Wert  , denn es gilt:

 

Die Werte für   und   ergeben sich so:

 

Einsetzen dieser Werte ergibt

 

Das heißt: 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Quadratwurzeln aus MatrizenBearbeiten

Als Wurzel einer quadratischen Matrix   bezeichnet man alle Matrizen  , die mit sich selbst multipliziert   ergeben:

 

Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. Betrachtet man aber nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig: Jede positiv definite symmetrische Matrix   besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel   Man erhält sie, indem man   mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert (dies ist nach dem Spektralsatz stets möglich) und dann die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt; dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wählen. Siehe auch Cholesky-Zerlegung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Quadratwurzel aus einem genäherten IntegraloperatorBearbeiten

Man kann die bestimmte Integral-Funktion   von 0 bis   mit   und   einer vorgegebenen Funktion  , die an den äquidistanten Stützstellen   die Werte   annimmt, als Matrizenmultiplikation   wie folgt numerisch nähern (für  ):

 

Es ist anschaulich klar, dass man diese Operation wiederholen kann und damit das Doppelintegral   erhält:

 

So kann man die Matrix   als numerisch genäherten Integraloperator auffassen.

Die Matrix   ist nicht diagonalisierbar und ihre jordansche Normalform lautet:

 

Um eine Quadratwurzel daraus zu ziehen, könnte man so vorgehen wie bei den nicht diagonalisierbaren Matrizen beschrieben. Es gibt jedoch in diesem Fall eine direktere formale Lösung wie folgt:

 

mit  ,   und  .

Darin bezeichnen die Indizes von   die Subdiagonalen (0 ist die Diagonale) und der Exponent   ist gleich  . Setzt man   als reell und positiv voraus, so ist   reell und definitionsgemäß positiv.

Damit kann man ein „halbes“ bestimmtes Integral   von 0 bis   der Funktion   wie folgt numerisch nähern:

 

Sucht man alle Operatoren, die mit sich selbst multipliziert den angenäherten Integraloperator   ergeben, so muss man zusätzlich das negative Vorzeichen einsetzen, das heißt, es gibt zwei Lösungen  .

Zum Herleiten der Formel kann man zunächst   invertieren, das Resultat mit   potenzieren und zuletzt nochmals invertieren.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Quadratwurzel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Quadratwurzel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

BelegeBearbeiten

  1. Die Gültigkeit des Potenzgesetzes   für Quadratwurzeln wird an der zitierten Stelle nicht, aber gelegentlich in der Literatur (für negative reelle Radikanden) unterstellt: Klaus Fritzsche: Tutorium Mathematik für Einsteiger. Springer-Verlag, 2016, ISBN 978-3-662-48910-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 4. Juli 2017]).