Unitäre Gruppe

In der Mathematik bezeichnet die unitäre Gruppe über einem komplexen Hilbertraum die Gruppe aller unitären komplex linearen Abbildungen über . Unitäre Gruppen und ihre Untergruppen spielen eine zentrale Rolle in der Quantenphysik, wo sie zur Beschreibung von Symmetrien der Wellenfunktion dienen.

EigenschaftenBearbeiten

Im allgemeinen Fall ist die unitäre Gruppe mit der Supremumsnorm eine Banach-Lie-Gruppe. Man kann die unitäre Gruppe mit der schwachen Operator-Topologie versehen. Diese fällt, eingeschränkt auf die unitäre Gruppe, mit der starken Operator-Topologie zusammen. Für endlichdimensionale Hilberträume fallen die von der Supremumsnorm induzierte Topologie und die Operator-Topologie zusammen.

Die unitäre Gruppe über einem endlichdimensionalen Hilbertraum   der Dimension   ist eine reelle Lie-Gruppe der Dimension   und wird mit   bezeichnet. Die Gruppe   ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe   und lässt sich konkret realisieren durch die Menge der unitären   Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Gruppenoperation. Für gegebenes   bilden die unitären Matrizen mit Determinante 1 eine mit   bezeichnete Untergruppe von  , die spezielle unitäre Gruppe.

BeispielBearbeiten

Die neben der trivialen Gruppe   einfachste unitäre Gruppe ist U(1), die sogenannte Kreisgruppe, die Gruppe der linearen Abbildungen der komplexen Zahlen, die das Betragsquadrat unverändert lassen, mit der Verkettung als Gruppenoperation. Die Gruppe ist abelsch und lässt sich konkret realisieren durch die Menge der Funktionen  , die jeweils eine gegebene komplexe Zahl mit einem Phasenfaktor   multiplizieren, wobei   eine reelle Zahl ist:

 

Die Abbildung   beschreibt eine Drehung der komplexen Zahlenebene um den Winkel  . Diese Gruppe ist topologisch isomorph zur Gruppe   mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenoperation.

Das Zentrum von   für beliebiges   ist  , wobei   die n-dimensionale Einheitsmatrix sei, und daher isomorph zu  

LiteraturBearbeiten

  • Alexander Altland, Jan von Delft: Mathematics for Physicists, Cambridge University Press, Cambridge 2019, ISBN 978-1-108-47122-0