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Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die Dirac-Matrizen   und   erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

 

Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

 

In Indexnotation, in der   und   für Zahlen aus   stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

 

Dabei sind   die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1) und   ist die Einheitsmatrix.

Die γ5-MatrixBearbeiten

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

 

Sie ist ihr eigenes Inverses,   ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen,   und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

EigenschaftenBearbeiten

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus  -Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen   und die hermitesch adjungierten Matrizen   den Matrizen   äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix   und eine Matrix  , so dass

 

Die Matrix   ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix   tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

 

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass   hermitesch und die drei anderen  -Matrizen antihermitesch sind,

 

In unitären Darstellungen bewirkt   die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

 

Mithilfe der Eigenschaften von   kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

 

Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach   gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

 

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei.

 

Daher gilt :

 

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-GleichungBearbeiten

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

 

wobei   ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit   erhält man

 

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse  .

Zusammenhang zu Lorentz-TransformationenBearbeiten

Die sechs Matrizen

 

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren  .

ChiralitätBearbeiten

Aus   und   folgt, dass die Matrizen

 

Projektoren sind,

 

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

 

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil   mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

 

sind die Unterräume, auf die   und   projizieren, invariant unter den von   erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile,   und  , eines Spinors   transformieren getrennt voneinander.

Da   und   hermitesch sind, weil   hermitesch ist, gilt für

 ,

wobei   allgemein definiert wird als  . Die Änderung   ergibt sich aus der Vertauschung von   mit  . Da   mit   antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor   im Projektionsoperator  . Ganz analog erhält man für  .

ParitätBearbeiten

Wegen   ändert ein Term, der   enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus  , Gamma-Matrizen und einem eventuell von   verschiedenen Spinor   zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

  •   wie ein Skalar,
  •   wie die Komponenten eines Vierervektors,
  •   wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
  •   wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
  •   wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-NotationBearbeiten

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen   abgekürzt geschrieben als

 .

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

 

oder in natürlichen Einheiten

 

Dirac-DarstellungBearbeiten

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)

 

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine  -Matrix):

 

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

 

Weyl-DarstellungBearbeiten

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist   diagonal,

 

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden   und   verändert, die räumlichen  -Matrizen bleiben unverändert:

 

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

 

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-DarstellungBearbeiten

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,

 

LiteraturBearbeiten

  • James Bjorken und Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
  • Michael Peskin and Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
  • Josef-Maria Jauch and Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
  • Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253–290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)
  • Franz Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II), Springer, Heidelberg, ISBN 978-3-540-85076-2