Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren -zusammen mit dem Nullvektor- spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über einem Körper   und   ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung  . Der Eigenraum   zum Eigenwert   von   ist dann

 

Dabei bezeichnet   die Identitätsabbildung auf  .

Man sagt dann auch,   ist invariant bezüglich des Endomorphismus   oder   ist ein  -invarianter Untervektorraum von  . Die Elemente   von   sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert   von  , sowie der Nullvektor.

Geometrische VielfachheitBearbeiten

Die Dimension des Eigenraums   wird als geometrische Vielfachheit von   bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von  . Wenn die Dimension des Eigenraums   größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

EigenschaftenBearbeiten

  • Existiert ein Eigenwert   von  , so ist der zugehörige Eigenraum   gleich dem Kern von  . Denn   und nach Definition des Eigenraumes:  .
  • Die Summe von Eigenräumen zu   paarweise verschiedenen Eigenwerten   von   ist direkt:
 
  • Gilt im obigen Fall  , so besitzt   eine Basis aus Eigenvektoren von  . In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix   von   bezüglich einer Basis von   diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix   von   bezüglich einer Basis von   aus Eigenvektoren von   hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von   stehen dann die Eigenwerte von  :
 
  • Ist   ein Prähilbertraum und   selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).