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Gruppe (Mathematik)

geordnete Menge, Struktur in der Mathematik
Die Drehungen eines Zauberwürfels bilden eine Gruppe.

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.[1]

Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.

Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren.[2] Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

Einführendes BeispielBearbeiten

Eine der bekanntesten Gruppen bildet die Menge der ganzen Zahlen  , die üblicherweise mit   bezeichnet wird, zusammen mit der Addition.

Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition erfüllt einige grundlegende Eigenschaften:

  • Für zwei ganze Zahlen   und   ist die Summe   wieder eine ganze Zahl. Würde man hingegen zwei ganze Zahlen miteinander dividieren, so wäre das Ergebnis zumeist eine rationale Zahl und keine ganze Zahl mehr. Da dies bei der Addition nicht passieren kann, sagt man, dass die ganzen Zahlen unter der Addition abgeschlossen sind.
  • Für alle ganzen Zahlen  ,   und   gilt das Assoziativgesetz
 .
In Worten ausgedrückt heißt dies, dass es egal ist, ob man zuerst   und   oder   und   addiert, das Ergebnis ist das gleiche. Diese Eigenschaft wird Assoziativität genannt.
  • Für jede ganze Zahl   gilt
 .
Die Addition mit Null verändert also die Ausgangszahl nicht. Daher nennt man Null das neutrale Element der Addition.
  • Für jede ganze Zahl   existiert eine ganze Zahl  , so dass   gilt. Das heißt, zu jeder ganzen Zahl   existiert eine ganze Zahl  , so dass ihre Summe null ergibt. Die Zahl   heißt in diesem Fall das inverse Element von   und wird mit   notiert.

Diese vier Eigenschaften der Menge der ganzen Zahlen zusammen mit ihrer Addition werden in der Definition der Gruppe auf andere Mengen mit einer passenden Operation verallgemeinert.

DefinitionBearbeiten

GruppeBearbeiten

Eine Gruppe ist ein Paar   bestehend aus einer Menge   und einer inneren zweistelligen Verknüpfung   auf  . Das heißt, durch   wird die Abbildung   beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird   Gruppe genannt:[3]

  • Assoziativität: Für alle Gruppenelemente  ,   und   gilt:  
  • Es gibt ein neutrales Element  , mit dem für alle Gruppenelemente   gilt:  .
  • Zu jedem Gruppenelement   existiert ein inverses Element   mit  .

Schwache GruppenaxiomeBearbeiten

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein linksneutrales Element  , so dass gilt:

  • Für alle Gruppenelemente   gilt:  
  • Zu jedem   existiert ein linksinverses Element   mit  .

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition.[4]

Gruppe als algebraische StrukturBearbeiten

Eine Gruppe kann auch als eine besondere algebraische Struktur definiert werden. Mit den schwachen Gruppenaxiomen erhält man dann:

Eine Gruppe ist ein Quadrupel   bestehend aus einer Menge   sowie einer assoziativen, inneren zweistelligen Verknüpfung  , einer nullstelligen Verknüpfung   und einer einstelligen Verknüpfung   auf  , sodass für jedes   gilt   und  .

Somit ist eine Gruppe ein spezielles Monoid, in welchem alle Elemente invertierbar sind.

Abelsche GruppeBearbeiten

Eine Gruppe   heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

  • Kommutativität: Für alle Gruppenelemente   und   gilt  .

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente   gibt, für die   ist, heißt die Gruppe   nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

GruppenordnungBearbeiten

Bei einer Gruppe   wird die Mächtigkeit   auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe   ist die Ordnung also einfach die Anzahl   der Gruppenelemente.

Ordnung eines ElementesBearbeiten

Die Ordnung eines Elementes   ist definiert durch  , wobei   das neutrale Element der Gruppe   repräsentiert.

Bemerkungen:

  • In jeder Gruppe hat genau das neutrale Element die Ordnung 1.
  • Für endliche Gruppen   gilt:
  (gesprochen: die Ordnung von   teilt die Gruppenordnung  )

Anmerkungen zur NotationBearbeiten

Häufig wird für die Verknüpfung   das Symbol   benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird auch durch   symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Für Verknüpfungen von mehreren Elementen wird dann auch das Produktzeichen verwendet. Für   wird die  -fache Verknüpfung eines Gruppenelements   mit sich selbst als Potenz   geschrieben und man definiert   sowie  .

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung   das Symbol   benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch   symbolisiert. Das zum Gruppenelement   inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch  , sondern durch   symbolisiert. Eine  -fache Summe   wird hier mit   bezeichnet und man setzt   sowie  . Eine abelsche Gruppe kann auf diese Weise als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen   aufgefasst werden. Üblich ist die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.[5]

Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für die Gruppe häufig nur  .

BeispieleBearbeiten

Im Folgenden werden einige Beispiele von Gruppen aufgeführt. So werden Gruppen von Zahlen, eine Gruppe mit genau einem Element und Beispiele von zyklischen Gruppen angeführt. Weitere Beispiele zu Gruppen finden sich in der Liste kleiner (endlicher) Gruppen.

Mengen von ZahlenBearbeiten

  • Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition bildet eine (abelsche) Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation ist die Menge der ganzen Zahlen allerdings keine Gruppe (das inverse Element zu 2 wäre 1/2).
  • Die Menge der rationalen Zahlen   beziehungsweise die Menge der reellen Zahlen   ist zusammen mit der Addition eine Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation sind die Mengen   und   ebenfalls Gruppen.

Die triviale GruppeBearbeiten

Die Menge, die nur ein Element   hat, kann als Gruppe aufgefasst werden. Da jede Gruppe ein neutrales Element hat, muss genau dieses eine Element dann als das neutrale Element aufgefasst werden. Dann gilt also  . Mittels dieser Gleichheit können auch die restlichen Gruppenaxiome bewiesen werden. Die Gruppe mit genau einem Element wird die triviale Gruppe genannt.

Zyklische GruppenBearbeiten

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe

 ,

wobei   meint und   das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element   wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch

 

dargestellt werden können.

 
Die 6. komplexen Einheitswurzeln können als zyklische Gruppe aufgefasst werden.

Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel  . Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen  , die die Gleichung

 

erfüllen. Die   Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären n-Ecks visualisiert werden. Für   ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit   der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um  .

Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt zwei zyklische Gruppen mit jeweils   Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen äquivalent zur zyklischen Gruppe   der ganzen Zahlen.

Grundlegende Eigenschaften einer GruppeBearbeiten

  • Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Sind nämlich   und   neutrale Elemente, dann muss   sein, da   neutral ist, und  , da   neutral ist. Somit folgt  .
  • Es gilt die Kürzungsregel: Aus   oder   mit den Gruppenelementen   folgt jeweils  .[6] Dies sieht man durch
     .
Daraus ergibt sich, dass die Verknüpfungstafel einer (endlichen) Gruppe ein lateinisches Quadrat ist, bei dem in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.
  • Die Gleichung   ist stets eindeutig lösbar und die Lösung ist  . Ebenso hat   die eindeutige Lösung  .
  • Das zu einem Gruppenelement   inverse Element   ist eindeutig bestimmt. Wenn   und   beide invers zu   sind dann folgt:
 
  • Es gilt   und  .
  • Für alle Elemente gilt  . Dies folgt aus der Gleichungskette
 .
Somit ist   zu   invers.

GruppenhomomorphismusBearbeiten

Gruppenhomomorphismen sind Abbildungen, die die Gruppenstruktur erhalten. Eine Abbildung

 

zwischen zwei Gruppen   und   heißt Gruppenhomomorphismus[7] oder kurz Homomorphismus, falls die Gleichung

 

für alle Elemente   gilt. Ist die Abbildung   zusätzlich bijektiv, so heißt sie Gruppenisomorphismus. In diesem Fall nennt man die Gruppen   und   isomorph zueinander.

Mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen bildet die Klasse aller Gruppen eine Kategorie, die üblicherweise mit Grp oder Gr bezeichnet wird.

GegengruppeBearbeiten

Zu jeder Gruppe   lässt sich die Gegengruppe   bilden, indem man bei der Verknüpfung   die Operanden gegenüber   vertauscht:[8][9]

  für alle   (gleiche Grundmenge  ).

Ist   abelsch, so ist  .

  ist die Gegengruppe der Gegengruppe der Gruppe  :  .

Ein Antihomomorphismus   zwischen zwei Gruppen ist ein Homomorphismus   bzw.  .

Produkte von GruppenBearbeiten

In der Gruppentheorie werden verschiedene Produkte von Gruppen betrachtet:

  • Das semidirekte Produkt ist eine Verallgemeinerung des direkten Produkts, wobei die eine Gruppe auf der zweiten operiert. Es kann auch als inneres semidirektes Produkt zwischen einem Normalteiler und einer Untergruppe einer gegebenen Gruppe realisiert sein.
  • Das Komplexprodukt zweier Untergruppen einer gegebenen Gruppe ist durch paarweise Verknüpfung der Untergruppenelemente gegeben. Dieses Produkt ist allgemeiner auch für zwei beliebige Teilmengen der Gruppe sinnvoll.
  • Das amalgamierte Produkt ist eine Verallgemeinerung des freien Produkts, bei dem die Elemente einer gemeinsamen Untergruppe miteinander verschmolzen („amalgamiert“) werden.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. George G. Hall: Applied group theory. American Elsevier, New York 1967, S. 1.
  2. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 358.
  3. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11.
  4. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 14.
  5. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11–12.
  6. Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 6.
  7. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 13.
  8. Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, n°1; Paris, Hermann, 1970, p.29.
  9. planetmath.org Opposite Group