Normale Matrix

Matrix, die mit ihrer adjungierten Matrix kommutiert

Eine normale Matrix ist in der linearen Algebra eine Matrix mit der Eigenschaft

,

also eine Matrix, die mit ihrer adjungierten Matrix kommutiert. Entsprechend ist eine reelle Matrix normal, wenn

gilt.

Der Spektralsatz besagt, dass eine Matrix genau dann normal ist, wenn es eine unitäre Matrix gibt, so dass , wobei eine Diagonalmatrix ist. Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie unitär diagonalisierbar sind. Es existiert daher eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von . Die Hauptdiagonalelemente von sind genau die Eigenwerte von . Insbesondere sind jede reelle symmetrische Matrix und jede komplexe hermitesche Matrix normal. Zudem ist jede unitäre Matrix normal.

BeispieleBearbeiten

Die Eigenwerte können komplex sein, selbst wenn die Matrix   reell ist,   und   sind also im Allgemeinen komplex, wie das Beispiel zeigt:

 .

Lediglich für den Spezialfall einer reellen symmetrischen Matrix   sind die Matrix   und die Eigenwerte (also  ) stets reell.

Zu beachten ist, dass es Matrizen gibt, die zwar diagonalisierbar, aber nicht normal sind. In diesem Fall liegt keine unitäre Diagonalisierbarkeit vor, das heißt, es gilt lediglich  , wobei   nicht unitär ist, also  . Ein Beispiel für eine nicht normale, aber diagonalisierbare Matrix ist

 .

Normalität und Abweichungen von der NormalitätBearbeiten

Die Zerlegung der Matrix   in   wird auch die Schur-Zerlegung oder die Schursche Normalform genannt. Grundsätzlich gilt:

 ,

wobei   eine strikte obere Dreiecksmatrix ist (auf der Diagonalen stehen also nur Nullen) und   die Eigenwerte von   sind. Für normale Matrizen gilt:

 .

Ist   nicht normal, so bezeichnet man   als die Abweichung von der Normalität. Dabei bezeichnet die Norm   die Frobeniusnorm.

Normale Matrizen und normale OperatorenBearbeiten

Ein normaler Operator ist in zweierlei Hinsicht eine Verallgemeinerung der normalen Matrix:

  1. Eine normale Matrix beschreibt einen normalen Operator bezüglich einer geeigneten Basis (nämlich bezüglich einer Orthonormalbasis), während der Begriff "normaler Operator" basisunabhängig definiert ist,
  2. Normale Matrizen beschreiben normale Operatoren auf endlichdimensionalen Skalarprodukträumen, während normale Operatoren auch (und sogar meistens) auf unendlichdimensionalen Räumen verwendet werden.

Die Basisabhängigkeit des Begriffs "normal" für eine Matrix kommt durch die Definition von "adjungiert" ins Spiel: Die zu   adjungierte Matrix   ist durch folgende Eigenschaft definiert:

  für alle  .

Diese Definition lässt sich auch basisunabhängig lesen, aber nur, wenn die Vektoren in dieser Definition Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis sind, lässt sich das Skalarprodukt als Matrixprodukt schreiben (siehe dazu auch Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen), so dass für beliebige Matrizen   folgt:

 

Nur dann kann die zu   adjungierte Matrix immer durch Konjugation und Transposition berechnet werden.

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 13., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.