Schur-Zerlegung

Matrix-Zerlegung

Als Schur-Zerlegung oder Schursche Normalform (nach Issai Schur) bezeichnet man in der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Matrix-Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren.

DefinitionBearbeiten

  sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus   (also  , wobei   entweder für   oder für   steht). Zerfällt das charakteristische Polynom von   über   in Linearfaktoren, so existiert eine unitäre Matrix  , sodass

  (  ist die zu   adjungierte Matrix)

eine obere Dreiecksmatrix ist. Da   unitär ist, folgt  ; eine solche Darstellung heißt Schur-Zerlegung von  .

BemerkungenBearbeiten

  • Da   eine obere Dreiecksmatrix ist, kann sie als Summe einer Diagonalmatrix   und einer strikten oberen Dreiecksmatrix   dargestellt werden ( ):
 
Es gilt dann:
  •   ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur-Zerlegung bezeichnet.
  •   ist nilpotent, im Allgemeinen nur bezüglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur-Zerlegung genannt.
  • Die Frobeniusnorm von   ist genau dann 0, wenn   normal ist.
  • Wegen der Ähnlichkeit der Ausgangsmatrix   und der oberen Dreiecksmatrix   stehen auf der Hauptdiagonale von   die Eigenwerte von  .
  • Ist   eine normale Matrix, dann ist   sogar eine Diagonalmatrix und die Spaltenvektoren von   sind Eigenvektoren von  . Die Schur-Zerlegung von   wird dann als Spektralzerlegung von   bezeichnet.
  • Wenn   positiv definit ist, dann ist die Schur-Zerlegung von   dasselbe wie die Singulärwertzerlegung von  .

Konstruktion einer Schur-ZerlegungBearbeiten

Sei  . Zunächst muss ein Eigenwert   und ein entsprechender Eigenvektor   zu   gefunden werden. Nun werden   Vektoren   gewählt, so dass   eine orthonormale Basis in   bilden. Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix   mit

 ,

wobei   eine   Matrix ist. Nun wird dieser Vorgang für   wiederholt. Es entsteht eine unitäre Matrix   mit

 ,

wobei   eine   Matrix ist. Dann gilt

 ,

wobei   mit   gilt. Die gesamte Prozedur wird  -mal wiederholt, bis die Matrizen   vorliegen. Dann ist   eine unitäre Matrix und   eine obere Dreiecksmatrix. Damit ist die Schur-Zerlegung der Matrix   bestimmt.

BeispielBearbeiten

Betrachte beispielsweise die Matrix   mit den Eigenwerten   (die Matrix ist nicht diagonalisierbar, weil die Dimension des mit diesem Eigenwert assoziierten Eigenraums 1 beträgt).

Wir wählen als Basis für den Anfang die Standard-Basis  , wobei   den  -ten Einheitsvektor bezeichnet.

Für   bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, zum Beispiel   mit Darstellung   und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B.  . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation   und berechnen   daraus lässt sich ablesen, dass  .

Für   bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B.   mit Darstellung   und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B.  . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation   und berechnen  .

Wie oben gezeigt, kann die Basis beliebig gewählt werden, allerdings wird die Sache sehr einfach und interessant, wenn die Wahl der Standardbasis durchgezogen wird (sofern möglich). Dadurch ändern sich die vorherigen Schritte wie folgt:

Für   bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B.   mit Darstellung   und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B.  . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation   und berechnen   daraus lässt sich ablesen, dass  .

Für   bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B.   mit Darstellung   und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B.  . Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation   und berechnen  .

Hier ist die Berechnung der Darstellung der Vektoren in der richtigen Basis sozusagen intuitiv und somit auch weniger fehleranfällig, zudem ist die finale Basistransformation hier   auch eine Dreiecksmatrix.

Mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren kann die erhaltene Basistransformationsmatrix zu einer unitären Matrix gemacht werden, wie verlangt.

WeblinksBearbeiten