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Symmetrische Matrix

quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind
Symmetriemuster einer symmetrischen (5×5)-Matrix

Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. Eine symmetrische Matrix stimmt demnach mit ihrer transponierten Matrix überein.

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen und jedes skalare Vielfache einer symmetrischen Matrix ist wieder symmetrisch. Die Menge der symmetrischen Matrizen fester Größe bildet daher einen Untervektorraum des zugehörigen Matrizenraums. Jede quadratische Matrix lässt sich dabei eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben. Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist genau dann symmetrisch, wenn die beiden Matrizen kommutieren. Das Produkt einer beliebigen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt eine symmetrische Matrix.

Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen weisen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften auf. So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar. Für komplexe symmetrische Matrizen gelten diese Eigenschaften im Allgemeinen nicht; das entsprechende Gegenstück sind dort hermitesche Matrizen. Eine wichtige Klasse reeller symmetrischer Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind.

In der linearen Algebra werden symmetrische Matrizen zur Beschreibung symmetrischer Bilinearformen verwendet. Die Darstellungsmatrix einer selbstadjungierten Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis ist ebenfalls stets symmetrisch. Lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer Koeffizientenmatrix lassen sich effizient und numerisch stabil lösen. Weiterhin werden symmetrische Matrizen bei Orthogonalprojektionen und bei der Polarzerlegung von Matrizen verwendet.

Symmetrische Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Geometrie, der Analysis, der Graphentheorie und der Stochastik.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine quadratische Matrix   über einem Körper   heißt symmetrisch, wenn für ihre Einträge

 

für   gilt. Eine symmetrische Matrix ist demnach spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonale, das heißt, es gilt

 ,

wobei   die transponierte Matrix bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

Beispiele für symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen sind

 .

Allgemein haben symmetrische Matrizen der Größe  ,   und   die Struktur

 .

Klassen symmetrischer Matrizen beliebiger Größe sind unter anderem

EigenschaftenBearbeiten

EinträgeBearbeiten

 
Bei einer symmetrischen Matrix müssen nur die Einträge auf und unterhalb der Diagonalen gespeichert werden

Aufgrund der Symmetrie wird eine symmetrische Matrix   bereits durch ihre   Diagonaleinträge und die   Einträge unterhalb (oder oberhalb) der Diagonalen eindeutig charakterisiert. Eine symmetrische Matrix weist demnach höchstens

 

verschiedene Einträge auf. Im Vergleich dazu kann eine nichtsymmetrische  -Matrix bis zu   unterschiedliche Einträge besitzen, also bei großen Matrizen fast doppelt so viele. Zur Speicherung symmetrischer Matrizen im Computer gibt es daher spezielle Speicherformate, die diese Symmetrie ausnutzen.[1]

SummeBearbeiten

Die Summe   zweier symmetrischer Matrizen   ist stets wieder symmetrisch, denn

 .

Ebenso ist auch das Produkt   einer symmetrischen Matrix mit einem Skalar   wieder symmetrisch. Nachdem auch die Nullmatrix symmetrisch ist, bildet die Menge der symmetrischen  -Matrizen einen Untervektorraum

 

des Matrizenraums  . Dieser Untervektorraum besitzt die Dimension  , wobei die Standardmatrizen  ,  , und  ,   darin eine Basis bilden.

ZerlegungBearbeiten

Falls die Charakteristik des Körpers   ungleich 2 ist, lässt sich jede beliebige quadratische Matrix   eindeutig als Summe   einer symmetrischen Matrix   und einer schiefsymmetrischen Matrix   schreiben, indem

    und    

gewählt werden. Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden dann ebenfalls einen Untervektorraum   des Matrizenraums mit Dimension  . Der gesamte  -dimensionale Raum   lässt sich folglich als direkte Summe

 

der Räume der symmetrischen und der schiefsymmetrischen Matrizen schreiben.

ProduktBearbeiten

Das Produkt   zweier symmetrischer Matrizen   ist im Allgemeinen nicht wieder symmetrisch. Das Produkt symmetrischer Matrizen ist genau dann symmetrisch, wenn   und   kommutieren, also wenn   gilt, denn dann ergibt sich

 .

Insbesondere sind damit für eine symmetrische Matrix   auch alle ihre Potenzen   mit   und daher auch ihr Matrixexponential   wieder symmetrisch. Für eine beliebige Matrix   sind sowohl die  -Matrix   als auch die  -Matrix   stets symmetrisch.

KongruenzBearbeiten

Jede Matrix  , die kongruent zu einer symmetrischen Matrix   ist, ist ebenfalls symmetrisch, denn es gilt

 ,

wobei   die zugehörige Transformationsmatrix ist. Matrizen, die ähnlich zu einer symmetrischen Matrix sind, müssen jedoch nicht notwendigerweise ebenfalls symmetrisch sein.

InverseBearbeiten

Ist eine symmetrische Matrix   invertierbar, dann ist auch ihre Inverse   wieder symmetrisch, denn es gilt

 .

Für eine reguläre symmetrische Matrix   sind demnach auch alle Potenzen   mit   wieder symmetrisch.

Reelle symmetrische MatrizenBearbeiten

Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen besitzen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften.

NormalitätBearbeiten

Eine reelle symmetrische Matrix   ist stets normal, denn es gilt

 .

Jede reelle symmetrische Matrix kommutiert also mit ihrer Transponierten. Es gibt allerdings auch normale Matrizen, die nicht symmetrisch sind, beispielsweise schiefsymmetrische Matrizen.

SelbstadjungiertheitBearbeiten

Eine reelle symmetrische Matrix   ist stets selbstadjungiert, denn es gilt mit dem reellen Standardskalarprodukt  

 

für alle Vektoren  . Es gilt auch die Umkehrung und jede reelle selbstadjungierte Matrix ist symmetrisch. Aufgefasst als komplexe Matrix ist eine reelle symmetrische Matrix stets hermitesch, denn es gilt

 ,

wobei   die adjungierte Matrix zu   und   die konjugierte Matrix zu   ist. Damit sind reelle symmetrische Matrizen auch selbstadjungiert bezüglich des komplexen Standardskalarprodukts.

EigenwerteBearbeiten

 
Durch eine reelle symmetrische (2×2)-Matrix wird der Einheitskreis (blau) in eine Ellipse (grün) transformiert. Die Halbachsen der Ellipse (rot) entsprechen den Beträgen der Eigenwerte der Matrix.

Die Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix  , das heißt die Lösungen der Eigenwertgleichung  , sind stets reell. Ist nämlich   ein komplexer Eigenwert von   mit zugehörigem Eigenvektor  ,  , dann gilt mit der komplexen Selbstadjungiertheit von  

 .

Nachdem   für   ist, muss   gelten und der Eigenwert   damit reell sein. Daraus folgt dann auch, dass der zugehörige Eigenvektor   reell gewählt werden kann.

VielfachheitenBearbeiten

Bei jeder reellen symmetrischen Matrix   stimmen die algebraischen und die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte überein. Ist nämlich   ein Eigenwert von   mit geometrischer Vielfachheit  , dann existiert eine Orthonormalbasis   des Eigenraums von  , welche durch   zu einer Orthonormalbasis des Gesamtraums   ergänzt werden kann. Mit der orthogonalen Basistransformationsmatrix   ergibt sich damit die transformierte Matrix

 

als Blockdiagonalmatrix mit den Blöcken   und  . Für die Einträge   von   mit   gilt nämlich mit der Selbstadjungiertheit von   und der Orthonormalität der Basisvektoren  

 ,

wobei   das Kronecker-Delta darstellt. Da   nach Voraussetzung keine Eigenvektoren zum Eigenwert   von   sind, kann   kein Eigenwert von   sein. Die Matrix   besitzt daher nach der Determinantenformel für Blockmatrizen den Eigenwert   genau mit algebraischer Vielfachheit   und aufgrund der Ähnlichkeit der beiden Matrizen damit auch  .[2]

DiagonalisierbarkeitBearbeiten

Da bei einer reellen symmetrischen Matrix   algebraische und geometrische Vielfachheiten aller Eigenwerte übereinstimmen und da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig sind, kann aus Eigenvektoren von   eine Basis des   gebildet werden. Daher ist eine reelle symmetrische Matrix stets diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine reguläre Matrix   und eine Diagonalmatrix  , sodass

 

gilt. Die Matrix   hat dabei die Eigenvektoren   als Spalten und die Matrix   hat die zu diesen Eigenvektoren jeweils zugehörigen Eigenwerte   auf der Diagonalen. Durch eine Permutation der Eigenvektoren kann dabei die Reihenfolge der Diagonaleinträge von   beliebig gewählt werden. Daher sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte besitzen. Weiterhin sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie kommutieren.

Orthogonale DiagonalisierbarkeitBearbeiten

 
Bei einer symmetrischen Matrix stehen die Eigenvektoren (blau und violett) zu verschiedenen Eigenwerten (hier 3 und 1) senkrecht aufeinander. Durch Anwendung der Matrix werden blaue Vektoren um den Faktor drei gestreckt, während violette Vektoren ihre Länge beibehalten.

Die Eigenvektoren   zu zwei verschiedenen Eigenwerten   einer reellen symmetrischen Matrix   sind stets orthogonal. Es gilt nämlich wiederum mit der Selbstadjungiertheit von  

 .

Da   und   als verschieden angenommen wurden, folgt daraus dann  . Daher kann aus Eigenvektoren von   eine Orthonormalbasis des   gebildet werden. Damit ist eine reelle symmetrische Matrix sogar orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix  , mit der

 

gilt. Diese Darstellung bildet die Grundlage für die Hauptachsentransformation und ist die einfachste Version des Spektralsatzes.

KenngrößenBearbeiten

Aufgrund der Diagonalisierbarkeit einer reellen symmetrischen Matrix   gilt für ihre Spur

 

und für ihre Determinante entsprechend

 .

Der Rang einer reellen symmetrischen Matrix ist gleich der Anzahl der Eigenwerte ungleich Null, also mit dem Kronecker-Delta

 .

Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann invertierbar wenn keiner ihrer Eigenwerte Null ist. Die Spektralnorm einer reellen symmetrischen Matrix ist

 

und damit gleich dem Spektralradius der Matrix. Die Frobeniusnorm ergibt sich aufgrund der Normalität entsprechend zu

 .

DefinitheitBearbeiten

Ist   eine reelle symmetrische Matrix, dann wird der Ausdruck

 

mit   quadratische Form von   genannt. Je nachdem ob   größer als, größer gleich, kleiner als oder kleiner gleich null für alle   ist, heißt die Matrix   positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit. Kann   sowohl positive, als auch negative Vorzeichen annehmen, so heißt   indefinit. Die Definitheit einer reellen symmetrischen Matrix kann anhand der Vorzeichen ihrer Eigenwerte ermittelt werden. Sind alle Eigenwerte positiv, ist die Matrix positiv definit, sind sie alle negativ, ist die Matrix negativ definit und so weiter. Das Tripel bestehend aus den Anzahlen der positiven, negativen und Null-Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix wird Signatur der Matrix genannt. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester bleibt die Signatur einer reellen symmetrischen Matrix unter Kongruenztransformationen erhalten.

AbschätzungenBearbeiten

Nach dem Satz von Courant-Fischer liefert der Rayleigh-Quotient Abschätzungen für den kleinsten und den größten Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix   der Form

 

für alle   mit  . Gleichheit gilt dabei jeweils genau dann, wenn   ein Eigenvektor zum jeweiligen Eigenwert ist. Der kleinste und der größte Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix kann demnach durch Minimierung beziehungsweise Maximierung des Rayleigh-Quotienten ermittelt werden. Eine weitere Möglichkeit zur Eigenwertabschätzung bieten die Gerschgorin-Kreise, die für reelle symmetrische Matrizen die Form von Intervallen haben.

Sind   zwei reelle symmetrische Matrizen mit absteigend sortierten Eigenwerten   und  , dann gibt die Fan-Ungleichung die Abschätzung

 .

Gleichheit ist hierbei genau dann erfüllt, wenn die Matrizen   und   simultan geordnet diagonalisierbar sind, das heißt, wenn eine orthogonale Matrix   existiert, sodass   und   gelten. Die Fan-Ungleichung stellt eine Verschärfung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für das Frobenius-Skalarprodukt und eine Verallgemeinerung der Umordnungs-Ungleichung für Vektoren dar.[3]

Komplexe symmetrische MatrizenBearbeiten

ZerlegungBearbeiten

Die Zerlegung des komplexen Matrizenraums   als direkte Summe der Räume symmetrischer und schiefsymmetrischer Matrizen

 

stellt eine orthogonale Summe bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts dar. Es gilt nämlich

 

für alle Matrizen   und  , woraus   folgt. Die Orthogonalität der Zerlegung gilt entsprechend auch für den reellen Matrizenraum  .

SpektrumBearbeiten

Bei komplexen Matrizen   hat die Symmetrie keine besonderen Auswirkungen auf das Spektrum. Eine komplexe symmetrische Matrix kann auch nicht-reelle Eigenwerte besitzen. Beispielsweise hat die komplexe symmetrische Matrix

 

die beiden Eigenwerte  . Es gibt auch komplexe symmetrische Matrizen, die nicht diagonalisierbar sind. Zum Beispiel besitzt die Matrix

 

den einzigen Eigenwert   mit algebraischer Vielfachheit zwei und geometrischer Vielfachheit eins. Allgemein ist sogar jede komplexe quadratische Matrix ähnlich zu einer komplexen symmetrischen Matrix. Daher weist das Spektrum einer komplexen symmetrischen Matrix keinerlei Besonderheiten auf.[4] Das komplexe Gegenstück reeller symmetrischer Matrizen sind, was die mathematischen Eigenschaften betrifft, hermitesche Matrizen.

FaktorisierungBearbeiten

Jede komplexe symmetrische Matrix   lässt sich durch die Autonne-Takagi-Faktorisierung

 

in eine unitäre Matrix  , eine reelle Diagonalmatrix   und die Transponierte von   zerlegen. Die Einträge der Diagonalmatrix sind dabei die Singulärwerte von  , also die Quadratwurzeln der Eigenwerte von  .[5]

VerwendungBearbeiten

Symmetrische BilinearformenBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler Vektorraum über dem Körper  , dann lässt sich jede Bilinearform   nach Wahl einer Basis   für   durch die Darstellungsmatrix

 

beschreiben. Ist die Bilinearform symmetrisch, gilt also   für alle  , dann ist auch die Darstellungsmatrix   symmetrisch. Umgekehrt definiert jede symmetrische Matrix   mittels

 

eine symmetrische Bilinearform  . Ist eine reelle symmetrische Matrix   zudem positiv definit, dann stellt   ein Skalarprodukt im euklidischen Raum   dar.

Selbstadjungierte AbbildungenBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler reeller Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung   nach Wahl einer Orthonormalbasis   für   durch die Abbildungsmatrix

 

darstellen, wobei   für   ist. Die Abbildungsmatrix   ist nun genau dann symmetrisch, wenn die Abbildung   selbstadjungiert ist. Dies folgt aus

 ,

wobei   und   sind.

Projektionen und SpiegelungenBearbeiten

 
Orthogonale Zerlegungen werden durch symmetrische Matrizen beschrieben

Ist wieder   ein  -dimensionaler reeller Skalarproduktraum und ist   ein  -dimensionaler Untervektorraum von  , wobei   die Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis für   sind, dann ist die Orthogonalprojektionsmatrix auf diesen Untervektorraum

 

als Summe symmetrischer Rang-Eins-Matrizen ebenfalls symmetrisch. Auch die Orthogonalprojektionsmatrix auf den Komplementärraum   ist aufgrund der Darstellung   stets symmetrisch. Mit Hilfe der Projektionsmatrizen   und   lässt sich jeder Vektor   in zueinander orthogonale Vektoren   und   zerlegen. Auch die Spiegelungsmatrix   an einem Untervektorraum   ist stets symmetrisch.

Lineare GleichungssystemeBearbeiten

Das Auffinden der Lösung eines linearen Gleichungssystems   mit symmetrischer Koeffizientenmatrix   vereinfacht sich, wenn man die Symmetrie der Koeffizientenmatrix ausnutzt. Auf Grund der Symmetrie lässt sich die Koeffizientenmatrix   als Produkt

 

mit einer unteren Dreiecksmatrix   mit lauter Einsen auf der Diagonale und einer Diagonalmatrix   schreiben. Diese Zerlegung wird beispielsweise bei der Cholesky-Zerlegung positiv definiter symmetrischer Matrizen verwendet, um die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen. Beispiele moderner Verfahren zur numerischen Lösung großer linearer Gleichungssysteme mit dünnbesetzter symmetrischer Koeffizientenmatrix sind das CG-Verfahren und das MINRES-Verfahren.

PolarzerlegungBearbeiten

Jede quadratische Matrix   kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

 

einer orthogonalen Matrix   und einer positiv semidefiniten symmetrischen Matrix   faktorisiert werden. Die Matrix   ergibt sich dabei als die Quadratwurzel von  . Ist   regulär, so ist   positiv definit und die Polarzerlegung eindeutig mit  .

AnwendungenBearbeiten

GeometrieBearbeiten

 
Quadriken können durch symmetrische Matrizen beschrieben werden

Eine Quadrik im  -dimensionalen euklidischen Raum ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in   Variablen. Jede Quadrik kann somit als Punktmenge der Form

 

beschrieben werden, wobei   mit   eine symmetrische Matrix,   und   sind.

AnalysisBearbeiten

Die Charakterisierung der kritischen Punkte einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion   kann mit Hilfe der Hesse-Matrix

 

vorgenommen werden. Nach dem Satz von Schwarz ist die Hesse-Matrix stets symmetrisch. Je nachdem ob   positiv definit, negativ definit oder indefinit ist, liegt an der kritischen Stelle   ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder ein Sattelpunkt vor.

GraphentheorieBearbeiten

 
Ein ungerichteter kanten­gewichteter Graph besitzt stets eine symmetrische Adjazenzmatrix

Die Adjazenzmatrix   eines ungerichteten kantengewichteten Graphen   mit der Knotenmenge   ist durch

    mit    

gegeben und damit ebenfalls stets symmetrisch. Auch von der Adjazenzmatrix durch Summation oder Potenzierung abgeleitete Matrizen, wie die Laplace-Matrix, die Erreichbarkeitsmatrix oder die Entfernungsmatrix, sind dann symmetrisch. Die Analyse solcher Matrizen ist Gegenstand der spektralen Graphentheorie.

StochastikBearbeiten

Ist   ein Zufallsvektor bestehend aus   reellen Zufallsvariablen   mit endlicher Varianz, dann ist die zugehörige Kovarianzmatrix

 

die Matrix aller paarweisen Kovarianzen dieser Zufallsvariablen. Nachdem   für   gilt, ist eine Kovarianzmatrix stets symmetrisch.

Symmetrische TensorenBearbeiten

Tensoren sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik, da sie neben dem Zahlenwert und der Einheit auch noch Informationen über Orientierungen im Raum enthalten[Anm. 1]. Die Komponenten des Tensors verweisen auf Tupel von Basisvektoren, die durch das dyadische Produkt „⊗“ verknüpft sind. Alles, was oben über reelle symmetrische Matrizen als Ganzem geschrieben steht, lässt sich auf symmetrische Tensoren zweiter Stufe übertragen. Insbesondere haben auch sie reelle Eigenwerte und paarweise orthogonale oder orthogonalisierbare Eigenvektoren. Für symmetrische positiv definite Tensoren zweiter Stufe wird auch ein Funktionswert analog zur Quadratwurzel einer Matrix oder zum Matrixexponential definiert.

Nicht ohne Weiteres lassen sich die Aussagen über die Einträge in den Matrizen auf Tensoren übertragen, denn bei letzteren hängen sie vom verwendeten Basissystem ab. Nur bezüglich der Standardbasis – oder allgemeiner einer Orthonormalbasis – können Tensoren zweiter Stufe mit einer Matrix identifiziert werden. Insbesondere gilt für einen symmetrischen Tensor T zweiter Stufe bezüglich einer Orthonormalbasis auch für die Einträge in seiner Koeffizientenmatrix

 

für alle möglichen Kombinationen von i und k. Im Allgemeinen gilt dies jedoch nicht.

Der Anschaulichkeit halber beschränkt sich die allgemeine Darstellung hier auf den reellen drei-dimensionalen Vektorraum, nicht zuletzt auch wegen seiner besonderen Relevanz in den Natur- und Ingenieurswissenschaften. Jeder Tensor zweiter Stufe kann bezüglich zweier Vektorraumbasen   und   als Summe

 

geschrieben werden. Bei der Transposition werden im dyadischen Produkt die Vektoren vertauscht. Der transponierte Tensor ist somit

 

Eine mögliche Symmetrie ist hier nicht so einfach erkennbar, jedenfalls genügt die Bedingung   nicht für den Nachweis.

Auch bei Tensoren höherer Stufe werden bei der Transposition die Basisvektoren in den Tupeln vertauscht. Allerdings gibt es dort mehrere Möglichkeiten die Basisvektoren zu permutieren und entsprechend gibt es vielfältige Symmetrien bei Tensoren höherer Stufe. Bei einem Tensor vierter Stufe   wird durch die Notation   der i-te Vektor mit dem k-ten Vektor vertauscht, beispielsweise

 

Bei der Transposition „“ ohne Angabe der Positionen werden die ersten beiden durch die letzten beiden Vektoren vertauscht[Anm. 2]:

 

Symmetrien liegen dann vor, wenn der Tensor mit seiner irgendwie transponierten Form übereinstimmt.

Anmerkungen:

  1. H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 22.
  2. W. Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen, Technische Mechanik und Höhere Mechanik. 2014, S. 25 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 17. Januar 2018]).

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 13. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.
  • Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Christoph W. Überhuber: Computer-Numerik. Band 2. Springer, 1995, S. 401 f.
  2. Howard Anton, Chris Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons, 2010, S. 404–405.
  3. Jonathan M. Borwein, Adrian S. Lewis: Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. Springer, 2010, ISBN 978-0-387-31256-9, S. 10.
  4. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, S. 271.
  5. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, S. 153.

WeblinksBearbeiten