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Trägheitssatz von Sylvester

mathematischer Satz

Der Trägheitssatz von Sylvester oder sylvestersche Trägheitssatz, benannt nach James Joseph Sylvester, ist ein Resultat aus der linearen Algebra. Dieser Satz macht eine Aussage über Invarianten darstellender Matrizen von symmetrischen Bilinearformen beziehungsweise hermitescher Sesquilinearformen und liefert damit die Grundlagen zur Definition der Signatur.

Aussage des SatzesBearbeiten

Sei   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform  . Der Ausartungsraum   von   ist definiert als

 .

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, dass eine direkte Summe

 

mit

  für alle   für alle  

existiert.

Insbesondere existiert also eine Basis von  , so dass die Darstellungsmatrix   der hermiteschen Sesquilinearform   die Diagonalgestalt

 

hat. Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Einträge  ,   und  , alle anderen Koeffizienten sind  .[1]

BemerkungenBearbeiten

  • Seien   eine symmetrische Matrix und   eine invertierbare Matrix. So folgt aus dem Satz, dass   und   mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation   invariant, nicht jedoch unter  .
  • Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

SignaturBearbeiten

Die Räume  ,   und   seien wie im ersten Abschnitt definiert. Dann folgt aus dem Trägheitssatz, dass die Zahlen

 

Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform   sind. Insbesondere ist

 .

Die analoge Aussage gilt auch für  . Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit

 .

Das Tripel   heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von  .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 278–281.