Satz von Schwarz

mathematischer Satz

Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem[1]) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.

Aussage Bearbeiten

Sei   eine offene Menge sowie   mindestens  -mal partiell differenzierbar und sind alle  -ten partiellen Ableitungen in   zumindest noch stetig, so ist    -mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen  -ten partiellen Ableitungen mit   unerheblich.[2]

Insbesondere für   und   gilt also

 

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen; es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.[3] Präziser gesagt, gilt zum Beispiel nach [4] auch die folgende, geometrische Formulierung des Satzes: Seien   und   Banachräume über dem Körper  , sei   eine nichtleere, offene Teilmenge von  , sei   und sei die Abbildung   in   zweimal (total) differenzierbar, dann ist deren zweite Ableitung   (die per definitionem ein Element von  , also selbst eine stetige bilineare Funktion auf   ist) symmetrisch; das heißt, für alle   gilt

 .

Wenn   das kartesische Produkt von   Banachräumen   ist, also   gilt, und die Norm von   mit der Produkttopologie verträglich ist, dann folgen aus der Existenz und Symmetrie von   für alle   sowohl die Existenz der zweiten partiellen Ableitungen   mit   und   im Punkt   (diese sind per definitionem Elemente von  ) als auch deren Symmetrie unter Vertauschung der Variablen und Argumente. Das heißt, für alle   und   gilt

 .

Anmerkungen: Aus der Stetigkeit aller 2. partiellen Ableitung folgt bekanntlich die Stetigkeit von  . Diese ist aber nicht Voraussetzung für den Satz. Die klassische Formulierung entspricht dem Spezialfall   und  ; da auf   (und  ) alle Normen äquivalent sind, sind diese automatisch verträglich mit der Produkttopologie, so dass diese Voraussetzung dann entfällt. Die geometrische Formulierung verallgemeinert die klassische auf nicht notwendig endlichdimensionale, reelle oder komplexe Banachräume   und  . Ohne ihre Argumente   und   wäre die angegebene Formel im Allgemeinen falsch, denn   und   wirken auf unterschiedlichen Räumen. So könnten die Banachräume   und   selbst dann, wenn sie endlichdimensional sind, von unterschiedlicher Dimension sein. Da die multilinearen Abbildungen auf Produkten von Banachräumen (mit der Operatornorm) selbst wieder Banachräume bilden, überträgt sich die (vollständige) Symmetrie (per vollständiger Induktion) auf alle höheren Ableitungen, so dass die beliebige Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in diesem Sinne bis einschließlich zur Differenzierbarkeitsordnung (der Funktion an dieser Stelle) gilt.

Andere Schreibweisen Bearbeiten

Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind

  oder auch  .

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von   nach   und von   nach   auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

  oder auch  .

Andere Formulierungen Bearbeiten

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man   als differenzierbare 0-Form auf und schreibt   für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form   bzw. auch einfach nur  .

Für   lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null:  , oder mit Nabla-Symbol geschrieben:  . Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei die Funktion   durch   Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

 

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen   und  

 

Es ist zu erkennen, dass gilt  

Gegenbeispiel Bearbeiten

Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion   mit   und

  für  .

Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz  , aber es gilt[5]

  und  .

Bezug zu exakten Differentialgleichungen Bearbeiten

Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form

 .

Man nennt diese exakt, wenn es eine stetig partiell differenzierbare Funktion   gibt, so dass für   gilt:

  und  .

Sind   und   stetig partiell differenzierbare Funktionen auf  , so ist nach dem Satz von Schwarz eine notwendige Bedingung hierfür, dass

 

gilt.

Wenn die offene Menge   einfach zusammenhängend ist, dann folgt aus der Bedingung   auch die Existenz von   (z. B. folgt dies für sternförmiges   aus dem Poincaré-Lemma).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~mate/misc/mixedpartial.pdf
  2. Arens et al.: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, S. 789
  3. Hans Grauert und Wolfgang Fischer, Differential- und Integralrechnung II., Springer Verlag 1978
  4. Henri Cartan, Differentialrechnung, Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Zürich 1974
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 3-7643-7105-6, S. 192–193.