Satz von Schwarz

mathematischer Satz

Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem[1]) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.

AussageBearbeiten

Sei   eine offene Menge sowie   mindestens  -mal partiell differenzierbar und sind alle  -ten partiellen Ableitungen in   zumindest noch stetig, so ist    -mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen  -ten partiellen Ableitungen mit   unerheblich.[2]

Insbesondere für   und   gilt also

 

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.[3] Präzise gesagt, gilt zum Beispiel nach [4] auch die folgende, geometrische Formulierung des Satzes: Wenn   und   Banachräume über einem kommutativen Körper   oder   sind und   eine offene Teilmenge von   ist, auf der eine Funktion   definiert ist, die im Punkt   zweimal (total) differenzierbar ist, dann ist die zweite Ableitung   von   dort, die per definitionem ein Element von  , also selbst eine auf   bilineare und stetige Funktion ist, symmetrisch: Das heißt, für alle   gilt

 

Wenn   in ein endliches,  -faches Produkt von Banachräumen   zerfällt, also   gilt, und die Norm von   mit der Produkttopologie verträglich ist, dann folgt aus der Existenz und Symmetrie von   sowohl die Existenz der zweiten partiellen Ableitungen   mit   und   für   im Punkt  , die per definitionem Elemente von   sind, als auch deren Symmetrie unter Vertauschung der Variablen und Argumente. Das heißt, für alle   und   gilt

 .

Anmerkungen: Aus der Stetigkeit aller 2. partiellen Ableitung folgt bekanntlich die Stetigkeit von  . Diese ist aber nicht Voraussetzung für den Satz. Die klassische Formulierung entspricht dem Spezialfall   und  , da auf   (und  ) alle Normen äquivalent sind, sind diese automatisch verträglich mit der Produkttopologie, so dass diese Voraussetzung dann entfällt. Die geometrische Formulierung verallgemeinert die klassische auf nicht notwendig endlichdimensionale, reelle oder komplexe Banachräume   und  . Ohne ihre Argumente   und   wäre die angegebene Formel im Allgemeinen falsch, denn   und   wirken auf unterschiedlichen Räumen. So könnten die Banachräume   und   selbst dann, wenn sie endlichdimensional sind, von unterschiedlicher Dimension sein. Da die multilinearen Abbildungen auf Produkten von Banachräumen (mit der Operatornorm) selbst wieder Banachräume bilden, überträgt sich die (vollständige) Symmetrie (per vollständiger Induktion) auf alle höheren Ableitungen, so dass die beliebige Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in diesem Sinne bis einschließlich zur Differenzierbarkeitsordnung (der Funktion an dieser Stelle) gilt.

Andere SchreibweisenBearbeiten

Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind

  oder auch  .

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von   nach   und von   nach   auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

  oder auch  .

Andere FormulierungenBearbeiten

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man   als differenzierbare 0-Form auf und schreibt   für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form   bzw. auch einfach nur  .

Für   lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null:  , oder mit Nabla-Symbol geschrieben:  . Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei die Funktion   durch   Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

 

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen   und  

 

Es ist zu erkennen, dass gilt  

GegenbeispielBearbeiten

Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion   mit   und

  für  .

Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz  , aber es gilt[5]

  und  .

Bezug zu exakten DifferentialgleichungenBearbeiten

Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form

 .

Man nennt diese exakt, wenn es eine stetig partiell differenzierbare Funktion   gibt, so dass für   gilt:

  und  .

Sind   und   stetig partiell differenzierbare Funktionen auf  , so ist nach dem Satz von Schwarz eine notwendige Bedingung hierfür, dass

 

gilt.

Wenn die offene Menge   einfach zusammenhängend ist, dann folgt aus der Bedingung   auch die Existenz von   (z. B. folgt dies für sternförmiges   aus dem Poincaré-Lemma).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~mate/misc/mixedpartial.pdf
  2. Arens et al.: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, S. 789
  3. Hans Grauert und Wolfgang Fischer, Differential- und Integralrechnung II., Springer Verlag 1978
  4. Henri Cartan, Differentialrechnung, Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Zürich 1974
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 3-7643-7105-6, S. 192–193.