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Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem[1]) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.

Inhaltsverzeichnis

AussageBearbeiten

Sei   eine offene Menge sowie   mindestens  -mal partiell differenzierbar und sind alle  -ten partiellen Ableitungen in   zumindest noch stetig, so ist    -mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen  -ten partiellen Ableitungen mit   unerheblich.[2]

Insbesondere für   und   gilt also

 

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.[3]

Andere SchreibweisenBearbeiten

Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind

  oder auch  .

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von   nach   und von   nach   auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

  oder auch  .

Andere FormulierungenBearbeiten

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man   als differenzierbare 0-Form auf und schreibt   für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form   bzw. auch einfach nur  .

Für   lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null:  , oder mit Nabla-Symbol geschrieben:  . Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei die Funktion   durch   Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

 

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen   und  

 

Es ist zu erkennen, dass gilt  

GegenbeispielBearbeiten

Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion   mit   und

  für  .

Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz  , aber es gilt[4]

  und  .

Bezug zu exakten DifferentialgleichungenBearbeiten

Gegeben sei eine Differentialgleichung der folgenden Form:

 

Man nennt diese exakt, wenn die folgende Bedingung (*) erfüllt ist:

 

Denn dann existiert eine Funktion :  für die folgendes gilt:

 

und

 .

Der Satz von Schwarz sagt hier: Gibt es so eine Funktion, so gilt Bedingung (*).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~mate/misc/mixedpartial.pdf
  2. Arens et al.: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, S. 789
  3. Hans Grauert und Wolfgang Fischer, Differential- und Integralrechnung II., Springer Verlag 1978
  4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 3-7643-7105-6, S. 192–193.