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Zusammenhängender Raum

Beschreibung des Zusammenhangs eines topologischen Raumes in der Mathematik
(Weitergeleitet von Einfach zusammenhängend)
Zusammenhängende und nicht zusammenhängende Unterräume von  : A ist einfach zusammenhängend, B (das gesamte Blaue) sowie die Komplemente von A und B sind es nicht.

In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben. Im Allgemeinen heißt ein topologischer Raum zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Ein Teilraum eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend, wenn er unter der induzierten Topologie zusammenhängend ist.

Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Zusammenhangskomponente.

Formale DefinitionBearbeiten

Für einen topologischen Raum   sind folgende Aussagen äquivalent:

  1.   ist zusammenhängend.
  2.   kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden:
     
  3.   kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen zerlegt werden:
     
  4.   und   sind die beiden einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind.
  5. Die einzigen Mengen mit leerem Rand sind   und  .
  6.   kann nicht als Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen geschrieben werden.
  7. Jede stetige Abbildung von   in einen diskreten topologischen Raum ist konstant.
  8. Jede lokal konstante Funktion von   in eine beliebige Menge ist konstant.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes nennt man zusammenhängend, wenn sie in der Teilraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist (siehe anschließendes Beispiel).

Manche Autoren betrachten den leeren topologischen Raum nicht als zusammenhängend (obwohl er die acht äquivalenten Bedingungen erfüllt). Dies hat gewisse Vorteile, zum Beispiel ist ein Raum mit dieser Definition genau dann zusammenhängend, wenn er genau eine Zusammenhangskomponente besitzt.

BeispielBearbeiten

Sei  . In Worten ist   also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich mit der von   induzierten Topologie (Teilraumtopologie, Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in   offenen Mengen gerade die Mengen von der Form   sind, wobei   eine in   offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in   offen, wenn sie sich als Schnitt einer in   offenen Menge mit   schreiben lässt.

Das Intervall   ist in   offen. Also ist der Schnitt von   mit   in   offen. Dies ergibt gerade  . Also ist die Menge   in   offen, obwohl   natürlich nicht in   offen ist.

Ebenso ist das Intervall   in   offen. Also ist der Schnitt von   mit unserem Raum   in   offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge  . Also ist   eine offene Teilmenge des Raumes  .

Damit kann man den Raum   als disjunkte Vereinigung von zwei in   offenen Teilmengen schreiben, die beide nicht leer sind. Also ist   nicht zusammenhängend.

Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen: Das Intervall   ist in   abgeschlossen. Also ist   in   abgeschlossen. Dieser Schnitt ist die Menge  , also ist   in   abgeschlossen, obwohl   nicht in   abgeschlossen ist.

Da wie oben erläutert   in   auch offen ist, existiert mit   eine Teilmenge von  , die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in  ) ist, aber nicht leer ist und auch nicht ganz  . Also kann   nicht zusammenhängend sein.

ZusammenhangskomponenteBearbeiten

In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Teilräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Teilräumen, denen dieser Punkt zugehört.[1][2][3][4][5]

BesonderheitenBearbeiten

Besonderheiten zusammenhängender Teilräume des reellen KoordinatenraumsBearbeiten

Im reellen Koordinatenraum haben zusammenhängende Teilräume mehrere Besonderheiten. Hervorzuheben sind vor allem zwei davon.

Zusammenhängende Teilräume der reellen ZahlenBearbeiten

Hier handelt es sich um die reellen Intervalle. Es gilt nämlich:[6][7]

Die zusammenhängenden Teilräume von   sind die reellen Intervalle jeden Typs. Es handelt sich im Einzelnen also um die der leere Menge  , die einpunktigen Teilmengen sowie um alle offenen, halboffenen, abgeschlossenen, beschränkten und unbeschränkten Intervalle mit mindestens zwei Punkten,   selbst eingeschlossen.
Es lässt sich nämlich zeigen, dass ein Teilraum       dann und nur dann zusammenhängend ist, wenn für je zwei Punkte   auch   gilt.

GebieteBearbeiten

Hinsichtlich der zusammenhängenden Teilräume des   ist vor allem die folgende Besonderheit bemerkenswert:[8][9]

Eine nichtleere offene Menge bildet genau dann einen zusammenhängenden Teilraum (und damit ein Gebiet), wenn sie wegzusammenhängend (s. u.) ist.[10]
Dabei gilt sogar schärfer, dass sich in einem solchen Gebiet je zwei Punkte stets durch einen ganz in diesem Gebiet liegenden Streckenzug verbinden lassen.

Besonderheit kompakter metrischer RäumeBearbeiten

Diese Besonderheit besteht in folgender Eigenschaft:[11][12]

Ist ein metrischer Raum   kompakt, so ist er genau dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte   für jedes    -verkettet in dem Sinne, dass endlich viele Punkte   existieren mit   und   sowie  .

Globale ZusammenhangsbegriffeBearbeiten

Die folgenden Begriffe beziehen sich immer auf den ganzen Raum, sind also globale Eigenschaften:

Total unzusammenhängendBearbeiten

Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt, wenn also alle Zusammenhangskomponenten einpunktig sind. Jeder diskrete topologische Raum ist total unzusammenhängend. In diesem Fall sind die (einpunktigen) Zusammenhangskomponenten offen. Ein Beispiel für einen nicht diskreten total unzusammenhängenden Raum ist die Menge der rationalen Zahlen   mit der von   induzierten Topologie.

WegzusammenhängendBearbeiten

 
Dieser Unterraum von R²  ist wegzusammenhängend, da je zwei seiner Punkte durch einen Weg verbunden sind.
 
Dieser Unterraum von R²  ist zwar zusammenhängend, doch nicht wegzusammenhängend.

Ein topologischer Raum   ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise zusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten  ,   aus   einen Weg   von   nach   gibt, d. h. eine stetige Abbildung   mit   und  .

Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von

 

mit einem Abschnitt der  -Achse zwischen −1 und 1, mit der von   induzierten Topologie. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen liegt, kann man die  -Achse nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen zu einem Punkt auf der  -Achse, also ist diese Vereinigung nicht wegzusammenhängend.

Einfach zusammenhängendBearbeiten

 
Zusammenhängende und nicht zusammenhängende Unterräume von  : Das Komplement von C ist einfach zusammenhängend; D, sein Komplement und C sind es dagegen nicht.

Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d. h. nullhomotop ist. Die zweite Bedingung ist dazu äquivalent, dass die Fundamentalgruppe trivial ist.

So sind in der nebenstehenden Abbildung sowohl der pinkfarbene Raum   als auch sein weißes Komplement „einfach zusammenhängend“, ersterer allerdings erst dadurch, dass eine Trennlinie die Umrundung des weiß gezeichneten Komplements verhindert. Im unteren Teilbild dagegen sind weder der orangefarbene Raum   noch sein weiß gezeichnetes Komplement „einfach zusammenhängend“ – interpretiert man   als Darstellung der Topologie einer „Kugel mit vier Henkeln“, wären das Komplement die vier „Löcher“ der Henkelkugel.

Im Unterschied zu Teilräumen des  , die, sobald sie einen oder mehrere nicht zu dem Raum gehörende Punkte („Löcher“) enthalten, dadurch auch nicht mehr „einfach zusammenhängend“ sind, gilt dies für Teilräume des   zunächst einmal nicht: Ein Raum mit der Topologie eines (ganzen) Schweizer Käses etwa bleibt dennoch (und unabhängig von der Zahl der Löcher in seinem Inneren) „einfach zusammenhängend“, weil jeder geschlossene Weg in einem solchen Raum sich unter Umgehung der Löcher zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wird der Raum dagegen von einer Kurve, z. B. einer Geraden, komplett durchquert, deren Punkte allesamt nicht zu dem Raum gehören, entsteht die Situation des Volltorus: Ein sich um die Gerade schließender Weg kann damit nicht mehr auf einen einzelnen Punkt zusammengezogen werden.

n-zusammenhängendBearbeiten

Ist   eine nichtnegative ganze Zahl, so heißt ein topologischer Raum    -zusammenhängend, falls alle Homotopiegruppen   für   trivial sind. „0-zusammenhängend“ ist also ein Synonym für „wegzusammenhängend“, und „1-zusammenhängend“ bedeutet dasselbe wie „einfach zusammenhängend“ im oben definierten Sinne.

ZusammenziehbarBearbeiten

Ein Raum X ist zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent zu einem Punkt ist, das heißt die Identität auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume haben daher aus topologischer Sicht ähnliche Eigenschaften wie ein Punkt, insbesondere sind sie immer einfach zusammenhängend. Aber die Umkehrung gilt nicht: n-Sphären mit festem Radius sind nicht zusammenziehbar, obwohl sie für   einfach zusammenhängend sind.

Lokale ZusammenhangsbegriffeBearbeiten

 
Kamm: zusammenhängend aber nicht lokal zusammenhängend

Die folgenden Begriffe sind lokale Eigenschaften, sie machen also Aussagen über das Verhalten in Umgebungen von Punkten:

Lokal zusammenhängendBearbeiten

Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls es zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes gibt. Jeder Punkt besitzt dann eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen.

Ein lokal zusammenhängender Raum kann durchaus aus mehreren Zusammenhangskomponenten bestehen. Aber auch ein zusammenhängender Raum muss nicht unbedingt lokal zusammenhängend sein: Der „Kamm“, bestehend aus der Vereinigung der Intervalle  ,   und  , ist zusammenhängend, doch jede genügend kleine Umgebung des Punktes   enthält unendlich viele nicht zusammenhängende Intervalle.

 
Buch: wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend

Lokal wegzusammenhängendBearbeiten

Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend oder lokal bogenweise zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die aus wegzusammenhängenden Umgebungen besteht. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist. Das oben gegebene Beispiel mit dem Graphen von   und der  -Achse ist daher nicht lokal wegzusammenhängend. Fügt man auch noch die  -Achse hinzu bekommt man einen zusammenhängenden, wegzusammenhängenden, aber nicht lokal wegzusammenhängenden Raum („Warschauer Kreis“). Weiterhin ist das „Buch“ wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend für alle Punkte auf der Mittelsenkrechten mit Ausnahme des Schnittpunktes aller Geradenstücke.

 
Hawaiische Ohrringe: nicht semilokal einfach zusammenhängend und auch nicht lokal einfach zusammenhängend

Lokal einfach zusammenhängendBearbeiten

Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung enthält.

Mannigfaltigkeiten sind lokal einfach zusammenhängend.

Ein Beispiel für einen nicht lokal einfach zusammenhängenden Raum sind die Hawaiischen Ohrringe: Die Vereinigung von Kreisen mit Radien   als Teilmenge des  , so dass sich alle Kreise in einem Punkt berühren. Dann enthält jede Umgebung um den Berührpunkt einen geschlossenen Kreis und ist daher nicht einfach zusammenhängend.

Semilokal einfach zusammenhängendBearbeiten

Ein Raum   ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung   besitzt, so dass sich jede Schleife in   in   zusammenziehen lässt (in   muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).

Semilokal einfach zusammenhängend ist eine schwächere Bedingung als lokal einfach zusammenhängend: Ein Kegel über den Hawaiischen Ohrringen ist semilokal einfach zusammenhängend, da sich jede Schleife über die Kegelspitze zusammenziehen lässt. Er ist aber (aus dem gleichen Grund wie die Hawaiischen Ohrringe selbst) nicht lokal einfach zusammenhängend.

LiteraturBearbeiten

  • P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Erster Band. Berichtigter Reprint. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974 (MR0185557).
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • Klaus Jänich: Topologie (= Springer-Lehrbuch). 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2001, ISBN 3-540-41284-0.
  • James R. Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River NJ 2000, ISBN 0-13-181629-2.
  • B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1979 (MR0639901).
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dies ergibt sich als Folgerung aus dem Kettensatz.
  2. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 94
  3. P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 49
  4. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86
  5. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 39
  6. Camps et al., op. cit., S. 88
  7. Schubert, op. cit., S. 38
  8. P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 50
  9. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 150
  10. Camps et al., op. cit., S. 98
  11. Führer, op. cit., S. 125
  12. B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 96