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KontextBearbeiten

Es sei  

In jedem dieser Fälle gibt es

  • den Begriff der differenzierbaren Funktion auf   der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf   werde mit   bezeichnet;
  • den Begriff des Tangentialraums   an   in einem Punkt  
  • den Begriff der Richtungsableitung   für einen Tangentialvektor   und eine differenzierbare Funktion  
  • den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf   der Raum der Vektorfelder auf   sei mit   bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums   wird als Kotangentialraum   bezeichnet.

DefinitionBearbeiten

DifferentialformBearbeiten

Eine Differentialform vom Grad   auf   oder kurz  -Form   ist ein glatter Schnitt in der  -ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von  . In symbolischer Schreibweise bedeutet dies  , wobei   das Kotangentialbündel von  ,   die  -te äußere Potenz von   und   somit Menge der glatten Schnitte von   bezeichnet.

Dies bedeutet, dass jedem Punkt   eine alternierende Multilinearform   auf dem Tangentialraum   zugeordnet wird; und zwar so, dass für   glatte Vektorfelder   die Funktion

 

glatt, also beliebig oft differenzierbar, ist.

Alternativ dazu kann man eine  -Form   als eine alternierende, glatte multilineare Abbildung   auffassen. Das bedeutet:   ordnet   Vektorfeldern   eine Funktion   zu, sodass

  •  
  •   für  

und

  •  

gilt.

Alternative unter Rückgriff auf Tensorfelder: Eine  -Form ist ein alternierendes, kovariantes Tensorfeld der Stufe  

Raum der DifferentialformenBearbeiten

Die Menge der  -Formen auf   bildet einen Vektorraum und wird mit   bezeichnet. Weiterhin setzt man

 

Für endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten ist diese Summe endlich, da für   der Vektorraum   der Nullvektorraum ist. Die Menge   ist eine Algebra mit dem äußeren Produkt als Multiplikation und somit auch wieder ein Vektorraum. Aus topologischer Sicht ist dieser Raum auch eine Garbe.

Man kann   als Element der äußeren Potenz   auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d. h. das Produkt   in der äußeren Algebra) Abbildungen

 

wobei   durch

 

punktweise definiert ist.

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, es gilt

 

dabei bezeichnet     den Grad von   d. h. ist   eine  -Form, so ist    . Demnach ist das Produkt zweier Formen ungeraden Grades antikommutativ und in allen anderen Kombinationen kommutativ.

BeispieleBearbeiten

KoordinatendarstellungBearbeiten

Es sei   eine  -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter sei   ein lokales Koordinatensystem (eine Karte). So ist

 

eine Basis von   Dabei ist   das totale Differential der  -ten Koordinatenfunktion  . Das heißt,   ist diejenige Linearform auf  , die den  -ten Basisvektor der Basis   auf 1 und alle anderen auf 0 abbildet.

Jede Differentialform   hat auf jeder Karte   eine eindeutige Darstellung

 

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen  

Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass für   die Nullform   die einzige Differentialform ist.

Äußere AbleitungBearbeiten

Die äußere Ableitung ist ein Operator, der einer  -Differentialform eine  -Differentialform zuordnet. Betrachtet man sie auf der Menge der  -Differentialformen, also auf der Menge der glatten Funktionen, so entspricht die äußere Ableitung der üblichen Ableitung für Funktionen.

DefinitionBearbeiten

Die äußere Ableitung   einer  -Form   wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel

 

definiert; dabei ist   ein Vektorfeld,   die Lie-Ableitung und   die Einsetzung von  

Ist beispielsweise   eine 1-Form, so ist

 

und

 

also

 

für Vektorfelder  ; dabei bezeichnet   die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet

 

dabei bedeutet das Dach   im Zeichen  , dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

EigenschaftenBearbeiten

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:

  • Die äußere Ableitung ist eine Antiderivation. Das heißt,   ist  -linear, und für   gilt die Leibnizregel
 
  • Sei   dann stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.
  •  
  • Die äußere Ableitung respektiert Einschränkungen. Es sei also   offen und   Dann gilt   Man nennt die äußere Ableitung deshalb auch einen lokalen Operator.

Diese vier Eigenschaften charakterisieren die äußere Ableitung vollständig. Das heißt, man kann aus diesen Eigenschaften die obige Summenformel herleiten. Rechnet man mit der äußeren Ableitung, so bevorzugt man das Rechnen mit den Eigenschaften der Ableitung und vermeidet die obige Formel.

Koordinatendarstellung der äußeren AbleitungBearbeiten

Die äußere Ableitung einer Differentialform

 

in Koordinatendarstellung lautet

 

mit den totalen Differentialen der Koeffizientenfunktionen

 .

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Identitäten

 

und

 

wichtig.

BeispielBearbeiten

Für   gilt

 

Allgemein gilt für die äußere Ableitung einer 1-Form

 

Für   bilden also die Koeffizienten der äußeren Ableitung einer 1-Form die Rotation des aus den Koeffizienten der 1-Form gebildeten Vektors.

Weitere Operationen auf DifferentialformenBearbeiten

Inneres ProduktBearbeiten

Sei   ein glattes Vektorfeld. Das innere Produkt ist eine lineare Abbildung

 

die durch

 

gegeben ist. Das heißt, das innere Produkt bildet eine  -Form   auf eine  -Form ab, indem die Form an einem festen Vektorfeld   ausgewertet wird. Diese Abbildung ist ein Analogon der Tensorverjüngung auf dem Raum der Differentialformen. Deshalb wird diese Operation im Englischen auch manchmal contraction genannt.

Das innere Produkt   ist eine Antiderivation. Das heißt, für   und   gilt die Leibnizregel

 

Außerdem gilt für das innere Produkt  

Rücktransport (Pullback) von DifferentialformenBearbeiten

 
Schema eines Pull-Back,   ist das Kotangentialbündel der Mannigfaltigkeit   und entsprechend für  

Ist   eine glatte Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für   die mittels    zurückgeholte Form   wie folgt definiert:

 

Dabei ist   die durch   induzierte Abbildung der Ableitungen, auch „push-forward“ genannt. Das Zurückziehen ist mit der äußeren Ableitung und dem äußeren Produkt verträglich:

  •  
(ausführlicher geschrieben: auf der linken Seite  , auf der rechten Seite dagegen  ) und
  •  
für alle  

Insbesondere induziert   eine Abbildung zwischen den De-Rham-Kohomologie-Gruppen (siehe unten)

 

wobei die Umkehr der Pfeilrichtung gegenüber   zu beachten ist („pull-back“, „Kohomologie“ statt „Homologie“).

Duale Form und Stern-OperatorBearbeiten

Betrachtet werden äußere Formen in einem  -dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, sodass eine orthonormale Basis   des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad   in diesem  -dimensionalen Raum duale Form ist eine  -Form

 

Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge-)  -Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:

 
 
 

mit den 1-Formen  . Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier   und   ist (zyklische Vertauschungen in  ).

Das  -Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum   gegeben ist, denn   lässt sich für zwei  -Formen   und   als Volumenform schreiben und das Integral

 

liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine  -Form wieder die  -Form ergibt - bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine  -Form in einem  -dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur   hat (  im euklidischen Raum,   im Minkowski-Raum):

 

Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form   die 2-Form   ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diese 2-Form kann man mit Hilfe des  -Operators nun auch formal direkt als 1-Form (rot-Vektor) schreiben:  . Analog wird der  -Operator zur „Übersetzung“ des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.

De-Rham-KohomologieBearbeiten

Aus der graduierten Algebra   kann zusammen mit der äußeren Ableitung ein Kokettenkomplex konstruiert werden. Aus diesem wird dann mit den üblichen Methoden der homologischen Algebra eine Kohomologie definiert. Georges de Rham konnte zeigen, dass diese nach ihm benannte Kohomologietheorie mit der singulären Kohomologie übereinstimmt. Um die De-Rham-Kohomologie zu definieren, werden zuerst die Begriffe der exakten und der geschlossenen Differentialform definiert:

Exakte und geschlossene FormenBearbeiten

Eine  -Form   heißt geschlossen, wenn   gilt; sie heißt exakt, wenn es eine  -Form   gibt, sodass   gilt. Aufgrund der Formel   ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist   eine offene Überdeckung von   so ist eine  -Form   genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von   auf   für jedes   geschlossen ist.

Die De-Rham-KohomologiegruppenBearbeiten

Der Faktorraum

{geschlossene  -Formen auf  }   {exakte  -Formen auf  }

heißt  -te De-Rham-Kohomologiegruppe   Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von  

Das Lemma von PoincaréBearbeiten

Das Lemma von Poincaré besagt, dass   für   und Sterngebiete  . Allgemeiner gilt die Aussage dieses Lemmas für zusammenziehbare offene Teilmengen   des   Der Beweis ist konstruktiv, d. h. es werden explizite Beispiele konstruiert, was für Anwendungen sehr wichtig ist. Man beachte, dass   aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also   für jedes  

Ist   geschlossen und   exakt, so folgt

 

Entsprechendes gilt, falls   exakt und   geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen

 

Ein Beispiel aus der ElektrodynamikBearbeiten

In der Elektrodynamik impliziert das Lemma von Poincaré, dass zu jedem Paar   elektromagnetischer Felder, die zu einer zweistufigen alternierenden Differentialform   in einem vierdimensionalen Minkowskiraum zusammengefasst werden können, eine einstufige Vektorpotentialform   mit   existiert, ein sogenanntes „Viererpotential“, siehe auch Vierervektor. Auch Strom- und Ladungsdichten können zu einem Vierervektor bzw. zu einer entsprechenden 3-Form   zusammengefasst werden.

Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit   (mit Metrik   und Determinante der Metrik  , wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes vorliegt, etwa   für   entsprechend der Definition des Linienelements  ) lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:

 

(die sogenannte Bianchi-Identität) und

 

mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form

 

z. B.   mit der z-Komponente des Vektors der magnetischen Induktion und mit dem Strom (geschrieben als 3-Form)

 

Hierbei ist   das Antisymmetrisierungssymbol (Levi-Civita-Symbol), und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indizes summiert (Einsteinsche Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit   ersetzt durch  ). Durch Anwendung des  -Operators kann man den zweiten Satz der vier Maxwellgleichungen auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass   und   in der Elektrodynamik ganz unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen, die sich für   ergeben, haben dagegen duale Symmetrie.

Die Potentialform   ist nur bis auf einen additiven Zusatz   eindeutig:   und   ergeben dasselbe   mit einer Eichform  , die   erfüllt, aber ansonsten willkürlich ist. Man kann diese zusätzliche sogenannte Eichfreiheit benutzen, um punktweise zusätzliche Nebenbedingungen zu erfüllen. In der Elektrodynamik fordert man beispielsweise, dass für   überall die zusätzliche sogenannten Lorenz-Bedingung (Lorenz-Eichung)   gelten soll, in den vier Komponenten lautet diese Bedingung einfach  . Durch diese „Eichfixierung“ ergibt sich schließlich als eindeutige Lösung aller vier Maxwell-Gleichungen das sogenannte „retardierte Potential“:

 

Beim Übergang zum Dualen ist zu beachten, dass man es nicht mit dem   sondern mit   zu tun hat, der eine andere Metrik, nämlich die Minkowski-Metrik, trägt. Das bei Lorentztransformationen invariante Linienelement ist   wobei   das Differential der Eigenzeit ist und die Summenkonvention verwendet wurde. Ko- und kontravariante Vierervektorkomponenten unterscheiden sich nun. Zwar ist   aber  

IntegrationstheorieBearbeiten

OrientierungBearbeiten

Ist   so heißt eine  -Form auf   die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf     zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung   definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: Eine Basis   des Kotangentialraums in einem Punkt   sei positiv orientiert, wenn

 

mit einer positiven Zahl   gilt; eine Basis   des Tangentialraums in einem Punkt   sei positiv orientiert, wenn

 

gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich nur um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist   zusammenhängend, so gibt es entweder gar keine oder genau zwei Äquivalenzklassen.

  heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von   existiert.

Integration von DifferentialformenBearbeiten

Es sei wieder   und wir nehmen an, auf   sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral

 

für  -Formen   Ist   eine offene Teilmenge des   und   die Standardkoordinatenfunktionen im   und ist

 

so gilt

 

das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral im  

Ist   eine  -dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit,   offen und   eine Karte, so definiert man

 

als Integral der  -Form   über ein Kartengebiet  . Die Differentialform   wird also mit der Parametrisierung   von   auf die offene Teilmenge   zurückgeholt und dann nach obiger Definition integriert. Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition invariant gegenüber Koordinatenwechsel ist.

Ist allgemeiner   eine messbare Teilmenge von  , so definiert man

 

mit der charakteristischen Funktion  , d. h.   wird außerhalb von   null gesetzt.

Zur Definition des Integrals über ganz   kann eine Zerlegung

 

in abzählbar viele paarweise disjunkte messbare Teilmengen   gewählt werden, so dass jedes   ganz in einem Kartengebiet   enthalten ist. Damit setzt man

 .

Für Integrale von Differentialformen gilt der folgende Transformationssatz: Ist   ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, dann gilt für  

 

mit der auf   zurückgeholten Form  .

Satz von StokesBearbeiten

Ist   eine kompakte orientierte  -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand   und versieht man   mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede  -Form  

 

Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Er enthält als Spezialfälle den gaußschen Integralsatz und den klassischen Integralsatz von Stokes.

Ist   geschlossen, das heißt gilt   so folgt für jede exakte  -Form   d. h. für   die Beziehung:

 

Zur Verdeutlichung der genannten Eigenschaft von   benutzt man oft die Formulierung mit einem Kreis-Integral:

 

Das Integral liefert eine Abbildung

 

Ist   zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus. Man kommt damit zur De-Rham-Kohomologie zurück (s. o.).

RechenbeispieleBearbeiten

Auf   mit den kartesischen Koordinaten   seien die 1-Form

 

und die 2-Form

 

gegeben.

Für das äußere Produkt gilt

 .

Die äußere Ableitung von   ergibt

 ,

also  . Insbesondere ist   exakt und folglich geschlossen, d. h.  . Das lässt sich auch durch direkte Rechnung überprüfen:  .

Sei weiter   gegeben durch  , dann folgt mit  ,  ,   und  ,  ,   für die auf   zurückgeholte Form:

 .

Für das Integral von   über die durch   gegebene Kurve   im   ergibt sich somit

 .

Ist   die Einheitssphäre im  , so ist   der Rand der Einheitskugel  , also  . Nach dem Satz von Stokes gilt also wegen  

 .

Die 3-Form   kann beispielsweise über den Einheitswürfel   integriert werden. Ihr Integral stimmt mit dem Lebesgue-Integral der Koeffizientenfunktion   überein:

 .

Komplexe DifferentialformenBearbeiten

In der Theorie der komplexen Differentialformen wird der hier eingeführte Kalkül auf komplexe Mannigfaltigkeiten übertragen. Dies funktioniert größtenteils analog zur Definition der hier beschriebenen Formen. Jedoch werden hier analog zu den komplexen Zahlen die Räume der komplexen Differentialformen in zwei Räume (reeller) Differentialformen

 

zerlegt. Der Raum   heißt dann der Raum der (p,q)-Formen. Auf diesen Räumen kann man analog zur äußeren Ableitung zwei neue Ableitungen definieren. Diese werden Dolbeault- und Dolbeault-Quer-Operator genannt, und analog zur De-Rham-Kohomologie kann man mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators wieder eine Kohomologie bilden. Diese heißt Dolbeault-Kohomologie.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten