Hauptmenü öffnen

Kettenkomplex

als Kette verknüpfte mathematische Objekte
(Weitergeleitet von Kokettenkomplex)

DefinitionBearbeiten

KettenkomplexBearbeiten

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

 

von  -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

 

von  -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

 

für alle n gilt. Der Operator   heißt Randoperator. Elemente von   heißen n-Ketten. Elemente von

  bzw.  

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung   ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

 

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von  , ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

KokettenkomplexBearbeiten

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

 

von  -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

 

von  -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

 

für alle n gilt. Elemente von   heißen n-Koketten. Elemente von

  bzw.  

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung   ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

 

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von  , ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

DoppelkomplexBearbeiten

 
Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex[1]     in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht     aus Objekten

 

zusammen mit Morphismen

    und    

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

 

Der Totalkomplex     des Doppelkomplex     ist der Kettenkomplex gegeben durch

 

mit der folgenden Randabbildung: für     mit     ist

 

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von   nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.[2]

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein Kettenkomplex   ist genau dann exakt an der Stelle  , wenn   ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.
  • Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

KettenhomomorphismusBearbeiten

Eine Funktion

 

heißt (Ko)-Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen   besteht, welche mit dem Randoperator   vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

 .

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

 .

Diese Bedingung stellt sicher, dass   Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-CharakteristikBearbeiten

Es sei   ein Kokettenkomplex aus  -Moduln über einem Ring  . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

 

Sind auch die einzelnen Komponenten   endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

 

Im Spezialfall eines Komplexes   mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten   nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K0-Gruppe von   zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

 [3]

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn   ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält   mit  . Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

BeispieleBearbeiten

 
Legt man die Indizes so fest, dass sich   in Grad 0 und   in Grad 1 befindet, so ist
  und  
Die Euler-Charakteristik
 
von   wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von   genannt. Dabei bezeichnet   den Kokern von  .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
  2. Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
  3. J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31