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Gruppenkohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle.

Inhaltsverzeichnis

Definition als abgeleiteter FunktorBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der  -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul   die Untergruppe   der unter   invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe   von   mit Koeffizienten in einem  -Modul  .

Beziehung zu ExtBearbeiten

Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:

 

dabei ist   der Gruppenring von   und   mit der trivialen  -Operation versehen.

Definition über KokettenBearbeiten

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen  -Moduls berechnet werden kann. Sie kann als   explizit angegeben werden:

 

dabei ist

 

d. h. Index   wird ausgelassen.

Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes   mit

 

und

 

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.

Inhomogene KokettenBearbeiten

Die Bedingung der  -Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von   um eins zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten   definiert werden:

 

und

 
 

Beispielsweise ist

 

Die inhomogenen 1-Kozykel

 

heißen verschränkte Homomorphismen.

Definition über klassifizierende RäumeBearbeiten

Die Gruppenkohomologie kann äquivalent definiert werden als die Kohomologie des Eilenberg-MacLane-Raumes  , also des klassifizierenden Raumes der mit der diskreten Topologie versehenen Gruppe:

 .

Für praktische Berechnungen ist diese Definition oft nützlicher als andere Definitionen.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • David J. Benson: Representations and cohomology (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 31). 2. Auflage. II: Cohomology of groups and modules. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63652-3.
  • Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6.
  • George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5.
  • Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. B.I.-Hochschulskripten, 713/713a*. Bibliographisches Institut, Mannheim/Vienna/Zürich 1969, ISBN 978-3-642-17324-0, x+308 S.