In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Eilenberg-MacLane-Raum ein topologischer Raum mit einer einzigen nicht trivialen Homotopiegruppe.

Für eine Gruppe G und eine positive natürliche Zahl heißt ein zusammenhängender topologischer Raum ein Eilenberg-MacLane-Raum , falls die n-te Homotopiegruppe isomorph zu G ist und alle anderen Homotopiegruppen trivial sind.

Falls und G abelsch oder und G beliebig ist, existiert ein solcher Raum, ist ein zusammenhängender CW-Komplex und bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt. Folglich wird ein solcher CW-Komplex auch als „der“ bezeichnet.

Der Name ist auf die Mathematiker Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane zurückzuführen, die solche Räume in den 1940er Jahren studierten.

Eilenberg-MacLane-Räume haben Anwendungen in verschiedenen Bereichen: Sie können einerseits in der Homotopietheorie als Bausteine für CW-Komplexe dienen, die mittels Faserungen mit Fasern in einem Postnikow-Turm zusammengesetzt werden. Damit können beispielsweise Homotopiegruppen von Sphären berechnet werden. Andererseits können mit ihrer Hilfe Kohomologieoperationen definiert werden und sie sind darstellende Räume für die singuläre Kohomologie.

Ein verallgemeinerter Eilenberg-MacLane-Raum ist ein Raum, der homotopieäquivalent zu einem Produkt von Eilenberg-MacLane-Räumen ist.

Beispiele

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  • Der Kreis   ist ein  . (Siehe Example 1B.1 in Algebraic Topology[1])
  • Der unendliche reelle projektive Raum   ist ein  . (Siehe Example 1B.3 in Algebraic Topology[1])
  • Der unendliche komplexe projektive Raum   ist ein Modell eines  . (Siehe Example 4.50. in Algebraic Topology[1])
  • Eine Verallgemeinerung von   als ein   ist ein unendlich dimensionaler Linsenraum  , definiert durch den Quotienten von   unter der freien Operation   für  .   ist ein  . (Siehe Example 1B.4 in Algebraic Topology[1]) Dies folgt, indem man Überlagerungstheorie und die Tatsache, dass die unendlich dimensionale Sphäre   zusammenziehbar ist.[2]
  • Das Bouquet von   Kreisen   ist ein   für die freie Gruppe   mit   Erzeugern.
  • Das Komplement eines zusammenhängenden Knotens oder Graphen in einer 3-dimensionalen Sphäre   ist ein  . (Siehe Example 1B.6 in Algebraic Topology[1]) Dies ist ein Theorem von Christos Papakyriakopoulos.[3]
  • Die geschlossene, kompakte orientierbare Fläche   vom Geschlecht   ist ein   für die Flächengruppe  .
  • Allgemeiner ist jede Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung (und allgemeiner jeder metrische Raum, dessen universelle Überlagerung ein CAT(0)-Raum ist) ein  . Darunter fallen lokal-symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ, insbesondere hyperbolische Mannigfaltigkeiten. Siehe hierzu auch Satz von Cartan-Hadamard.
  • Der Konfigurationsraum von   Punkten in der Ebene ist ein  , wobei   die reine Zopfgruppe der n-strängigen Zöpfe ist.
  • Entsprechend ist der  -te ungeordnete Konfigurationsraum von   ein  , wobei   die Zopfgruppe der n-strängigen Zöpfe bezeichnet.
  • Das unendliche symmetrische Produkt   einer n-Sphäre ist ein  . Allgemeiner ist   ein   für jeden Moore-Raum  .

Weitere elementare Beispiele können unter der Berücksichtigung, dass das Produkt   ein   ist, konstruiert werden: Beispielsweise ist der n-dimensionale Torus   ein  . (Siehe Example 1B.5 in Algebraic Topology[1])

Bemerkungen zur Konstruktion

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Für   und   eine beliebige Gruppe ist die Konstruktion eines   identisch zu der eines klassifizierenden Raumes der Gruppe  . Beachte, falls   ein Torsionselement besitzt, dann ist der jeder CW-Komplex mit Homotopietyp   bereits unendlichdimensional.

Es gibt mehrere Techniken, höhere Eilenberg-MacLane-Räume zu konstruieren. Eine dieser ist einen Moore-Raum   für eine abelsche Gruppe   zu konstruieren: Betrachte einen Bouquet von n-Sphären, eine für jeden Erzeuger von   und realisiere die in   geltenden Relationen durch Ankleben von   Zellen entlang entsprechender Abbildung in   von eben diesem Bouquet. Beachte, dass die niedrigeren Homotopiegruppen   bereits trivial nach Konstruktion sind. Nun eliminieren wir die höheren Homotopiegruppen   durch sukzessives Ankleben von Zellen der Dimension größer als   und definieren   als direkter Limes unter Inklusion dieser Iteration.

Eine andere nützliche Methode ist die geometrische Realisierung von simplizialen abelschen Gruppen zu nutzen.[4]

Eine weitere simpliziale Konstruktion in Hinsicht auf klassifizierende Räume und universelle Bündel ist in J. Peter Mays Buch[5] zu finden.

Singuläre Kohomologie

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Eine interessante Eigenschaft von  's ist, dass es für jede abelsche Gruppe   und jeden punktierten CW-Komplex  , für die Menge   von Homotopieklassen von punktieren stetigen Abbildungen von   nach   eine natürliche Bijektion mit der  -ten Singulären Kohomologie   des Raumes   gibt. In anderen Worten sind die   Repräsentative Räume für singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in  . Da

 

gilt, gibt es ein spezielles Element  , genannt „Fundamentalklasse“, das der Identität in   entspricht. Die oben genannten natürliche Bijektion ist ein Pullback dieses Elementes:  . Ähnlichkeiten mit dem Yoneda-Lemma sind zu erkennen.

Ein konstruktiver Beweis dieser Aussage kann hier[6] gefunden werden, ein weiterer, der die Beziehung zwischen Omega-Spektra und reduzierten verallgemeinerten Kohomologietheorien ausnutzt hier[1], und wird unten kurz skizziert.

Schleifenräume Omega-Spektren

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Der Schleifenraum eines Eilenberg-MacLane-Raumes ist wieder ein Eilenberg-MacLane-Raum:  . Des Weiteren existiert eine Adjunktion zwischen dem Schleifenraum- und Einhängungsfunktor:  , wodurch   eine abelsche Gruppenstruktur gegeben wird, wobei die Gruppenoperation das Hintereinanderausführen von Schleifen ist. Dadurch ist die oben aufgeführte Bijektion   ein Gruppenisomorphismus.

Außerdem wird durch diese Adjunktion impliziert, dass Eilenberg-MacLane-Räume mit verschiedenen   ein Omega-Spektrum, genannt „Eilenberg-MacLane-Spektrum“, bilden. Dieses Spektrum definiert via   eine reduzierte Kohomologietheorie auf der Kategorie der punktierten CW-Komplexe. Nun existiert für jede reduzierte Kohomologietheorie   auf punktierten CW-Komplexen, die   für   erfüllt, eine natürliche Bijektion  , wobei   die reduzierte Singuläre Kohomologie beschreibt. Folglich stimmen diese beiden Kohomologietheorien überein.

Allgemeiner besagt der Darstellungssatz von Brown, dass jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie auf der Kategorie der punktierten CW-Komplexe von einem Omega-Spektrum stammt.

Zusammenhang mit Homologie

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Ähnlich wie bei der singulären Kohomologie finden wir auch eine Verbindung zur singulären Homologie: Für eine feste abelsche Gruppe   gibt es Abbildungen auf den stabilen Homotopiegruppen:

 

induziert von der Abbildung  . Bildet man den direkten Limes über diese Abbildungen, lässt sich nachrechnen, dass dies eine reduzierte Homologietheorie

  auf der Kategorie der CW-Komplexe liefert.

Da   für   null wird, stimmt   mit der reduzierten singulären Homologie   mit Koeffizienten in auf CW-Komplexen überein.

Kohomologieoperationen

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Für feste natürliche Zahlen   und abelsche Gruppen   gibt es eine Bijektion zwischen der Menge aller Kohomologieoperationen   und   definiert durch  , wobei  , wie oben, die sogenannte Fundamentalklasse ist.

Daraus folgt unter Verwendung des universellen Koeffiziententheorems und der (m-1)-Zusammenhängigkeit von  , dass Kohomologieoperationen nicht den Grad von Kohomologiegruppen verringern können und graderhaltende Kohomologieoperationen korrespondieren zu Koeffizientenhomomorphismen  .

Interessante Beispiele von Kohomologieoperationen sind Steenrod Quadrate und Exponenten, falls   endliche zyklischen Gruppen sind. Hier wird schnell die Wichtigkeit der Kohomologie der  's mit Koeffizienten in   klar[7]; ausführliche Tabellen dieser Kohomologien sind hier[8] zu finden.

Postnikow- und Whiteheadtürme

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Jeder CW-Komplex lässt sich als Postnikow-Turm zerlegen, d. h. als iterierte Faserung, deren Fasern Eilenberg-MacLane-Räume sind; genauer eine Sequenz:

 

sodass für jedes  :

  1. es kommutierende Abbildungen   gibt, die Isomorphismen auf   für   induzieren,
  2.   für  ,
  3. die Abbildungen   Faserungen mit Faser   sind.

Dual zu diesem Konstrukt existiert zu jedem CW-Komplex ein Whitehead-Turm, d. h. eine Sequenz von CW-Komplexen:

 ,

sodass für jedes  :

  1. die Abbildungen   einen Isomorphismus auf   für   induzieren,
  2.   n-zusammenhängend ist,
  3. die Abbildungen   sind Faserungen mit Faser  .

Mittels Spektralsequenzen können höhere Homotopiegruppen von Sphären aus Postnikow- und Whiteheadtürmen berechnet werden. Beispielsweise werden   und   mithilfe eines Whiteheadturms von   hier[9] berechnet, allgemeiner werden   mithilfe eines Postnikowsystems hier[10] untersucht.

Gruppenhomologie und Gruppenkohomologie

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Die Gruppenhomologie einer Gruppe   (mit Koeffizienten  ) ist per Definition die singuläre Homologie des Eilenberg-MacLane-Raumes  :

 

entsprechend für die Gruppenkohomologie:

 

Literatur

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Andere Enzyklopädien

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Einzelnachweise

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  1. a b c d e f g Allen Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press, 2001. Abgerufen am 14. Juni 2021.
  2. general topology - Unit sphere in $\mathbb{R}^\infty$ is contractible? In: Mathematics Stack Exchange. Abgerufen am 1. September 2020.
  3. C. D. Papakyriakopoulos: ON DEHN'S LEMMA AND THE ASPHERICITY OF KNOTS. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 43, Nummer 1, Januar 1957, S. 169–172, doi:10.1073/pnas.43.1.169, PMID 16589993, PMC 528404 (freier Volltext).
  4. gt.geometric topology - Explicit constructions of K(G,2)? In: MathOverflow. Abgerufen am 28. Oktober 2020.
  5. J. Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chapter 16, section 5 (ed.ac.uk [PDF]).
  6. Xi Yin: "On Eilenberg-MacLanes Spaces" (Memento vom 29. September 2021 im Internet Archive), abgerufen am 14. Juni 2021.
  7. Cary Malkievich: "The Steenrod algebra", abgerufen am 14. Juni 2021.
  8. Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers
  9. Xi Yin: "On Eilenberg-MacLanes Spaces" (Memento vom 29. September 2021 im Internet Archive), abgerufen am 14. Juni 2021.
  10. Allen Hatcher: Spectral Sequences, abgerufen am 25. April 2021.