Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.[1]

DefinitionBearbeiten

Zwei Funktoren   und   zwischen Kategorien   und   bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

 

und

 

von   in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

  heißt rechtsadjungiert zu  ,   heißt linksadjungiert zu  .[2][3]

Einheit und Koeinheit der AdjunktionBearbeiten

Ist   die natürliche Äquivalenz  , so heißen die natürlichen Transformationen

 
 

und

 
 

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

 

und

 

die Identität ergeben. Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen eine Adjunktion bestimmen.

EigenschaftenBearbeiten

  • Sind   und   quasi-invers zueinander, so ist   rechts- und linksadjungiert zu  .
  • Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
  • Ist   rechtsadjungiert zu  ,   die Einheit, und   die Koeinheit der Adjunktion, so ist   mit   eine Monade in  .

BeispieleBearbeiten

  • Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
  • Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
  • Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus“ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
  • Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top* → Top.
  • Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
  • Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
  • Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
  • In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie   ist für jedes Objekt   der Funktor   linksadjungiert zum Funktor  . Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung   ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt  .
  • Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor  , mit   für Mengen   und   für Funktionen  . Der zu   rechtsadjungierte Funktor   ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen   die Funktion   zu. Die  -Komponente der Einheit der Adjunktion,  , ist  . Die  -Komponente der Koeinheit der Adjunktion,  , ist gerade die auf   beschränkte Elementrelation.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D. M. Kan: Adjoint Functors. In: Transaction American Mathematical Society, 1958, Band 87, S. 294–329
  2. P. J. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological Algebra. Springer-Verlag, 1970, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel II, Absatz 7: Adjoint Functors
  3. H. Schubert: Kategorien II (= Heidelberger Taschenbuch. Band 66). Springer, Berlin 1970, ISBN 3-540-04866-9, doi:10.1007/978-3-642-95156-5.