Morphismus

Funktion in Kategorientheorie

In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man sogenannte (abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte und eine Klasse von Morphismen von nach (auch als Pfeile bezeichnet).

Man schreibt:

.

Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

Interpretiert man Mengen mit gleicher Struktur als Objekte und die Funktionen zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Struktur verträglich sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einer konkreten Kategorie. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichen Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie Rel, deren Objekte Mengen und deren Morphismen Relationen sind.

BeispieleBearbeiten

Konkrete Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der Algebra studiert werden (z. B. Gruppen oder Ringe), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Jede Quasiordnung   definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von   sind und ein Morphismus   genau dann existiert, wenn  .

VerknüpfungBearbeiten

Die Verknüpfung (Hintereinanderausführung, Komposition) von Morphismen, in Zeichen:  , wird oft in einem kommutativen Diagramm dargestellt, beispielsweise

 

TypenBearbeiten

  • Jedes Objekt   einer Kategorie hat einen identischen Morphismus, geschrieben   der für alle Morphismen   ein rechtsneutrales Element und für alle Morphismen   ein linksneutrales Element der Komposition ist, sodass stets   und   gilt.
  • Wenn ein Morphismus   eine Rechtsinverse besitzt, d. h. wenn es einen Morphismus   mit   gibt, dann heißt   Retraktion. Analog bezeichnet man mit Schnitt (Sektion, Koretraktion) einen Morphismus, der eine Linksinverse besitzt.
  • Ist   sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt   Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte   und   als gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden (Isomorphismen sind beispielsweise in der konkreten Kategorie der Mengen die bijektiven Abbildungen).
  • Ein Morphismus von   nach   heißt Endomorphismus von  
  • Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt Automorphismus.
  • Ein Morphismus   mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus:
    Sind   beliebige Morphismen mit  , dann ist stets   (z. B. ist jeder surjektive Homomorphismus ein Epimorphismus).
  • Ein Morphismus   mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus:
    Sind   beliebige Morphismen mit  , dann ist stets   (z. B. ist jeder injektive Homomorphismus ein Monomorphismus).
  • Ein Epimorphismus   heißt extremal wenn aus   und   ist ein Monomorphismus, stets folgt:   ist ein Isomorphismus.
  • Ein Monomorphismus   heißt extremal, wenn aus   und   ist ein Epimorphismus, stets folgt   ist ein Isomorphismus.
  • Ist   sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist   ein Bimorphismus. Nicht jeder Bimorphismus ist ein Isomorphismus. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.
    Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.

LiteraturBearbeiten

  • Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1.
  • Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane: General theory of natural equivalences. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 58, Nr. 2, September 1945, S. 231–294.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7.