Extremer Monomorphismus und Epimorphismus

Extreme Monomorphismen und Epimorphismen sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt es sich um Verschärfungen der Monomorphismen beziehungsweise Epimorphismen.

DefinitionBearbeiten

Ein Morphismus   in einer Kategorie heißt extremer Monomorphismus, falls

  •   ist ein Monomorphismus
  • Ist   mit einem Morphismus   und einem Epimorphismus  , so ist   ein Isomorphismus.

Dual dazu definiert man:

Ein Morphismus   in einer Kategorie heißt extremer Epimorphismus, falls

  •   ist ein Epimorphismus
  • Ist   mit einem Morphismus   und einem Monomorphismus  , so ist   ein Isomorphismus.[1][2][3]

BemerkungBearbeiten

In der Definition des extremen Monomorphismus muss   ein Monomorphismus sein, denn   ist einer. Da   als Epimorphismus vorausgesetzt wird, ist   also Monomorphismus und Epimorphismus, also ein sogenannter Bimorphismus, was schwächer als Isomorphismus ist. Das Besondere an obiger Definition besteht also gerade darin, dass in dieser speziellen Situation nicht nur auf Bimorphismus, sondern sogar auf Isomorphismus geschlossen werden kann. Entsprechendes kann natürlich über extreme Epimorphismen gesagt werden.

Ferner zeigt diese Bemerkung, dass in sogenannten ausgeglichenen Kategorien, das sind solche, in denen jeder Bimorphismus schon Isomorphismus ist, obige Begriffe nichts Neues bringen. In solchen Kategorien sind die extremen Monomorphismen (bzw. Epimorphismen) genau die gewöhnlichen Monomorphismen (bzw. Epimorphismen). Diese Überlegung lässt sich sogar umkehren, das heißt für eine Kategorie sind folgende Aussagen äquivalent:[4]

  • Die Kategorie ist ausgeglichen.
  • Jeder Epimorphismus ist extremer Epimorphismus.
  • Jeder Monomorphismus ist extremer Monomorphismus.

BeispieleBearbeiten

  • In der Kategorie der Ringe mit 1 und den Ringhomomorphismen, die 1 auf 1 abbilden, ist die Inklusionsabbildung   ein Epimorphismus, der nicht extrem ist, denn  , ohne dass   Isomorphismus ist. Dies ist gleichzeitig ein Monomorphismus, der nicht extrem ist, wobei man dann   zu betrachten hat.[5] Allgemein ist jeder Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, ein solches Beispiel.
  • In der Kategorie der topologischen Räume mit den stetigen Abbildungen sind die extremen Monomorphismen   genau die Homöomorphismen von   auf Unterräume von  .[6] Ferner sind dieser Kategorie die extremen Epimorphismen genau die Quotientenabbildungen.[7] Daher gibt es in dieser Kategorie Monomorphismen und Epimorphismen, die nicht extrem sind. Ist zum Beispiel   das Einheitsintervall   mit der diskreten Topologie und   das Einheitsintervall mit der euklidischen Topologie, so ist   ein nicht-extremer Monomorphismus und ein nicht-extremer Epimorphismus.
  ist extremer Monomorphismus       Es gibt eine Konstante   mit   für alle  .
  ist extremer Epimorphismus         ist surjektiv.
Auch in dieser Kategorie kann man also leicht Monomorphismen und Epimorphismen angeben, die nicht extrem sind.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie, Springer-Verlag 1972, ISBN 978-3-540-06006-2, Definition 1.5.9.
  2. Horst Herrlich: Topologische Reflexionen und Coreflexionen, Lecture Notes in Mathematics 78 (1968), Definition 7.1.1
  3. K. Morita, J. Nagata: Topics in General Topology, North Holland 1998, 0-444-70455-8, Kapitel 14, Definition 2.8
  4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 17.13
  5. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn ans Bacon Inc. 1973, Beispiel 17.10 (4)
  6. Lothar Tschampel: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7, Satz 3.062.2
  7. Lothar Tschampel: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7, Satz 3.062.3
  8. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn ans Bacon Inc. 1973, Beispiel 17.10 (5)