Duale Kategorie

In der Mathematik ordnet man jeder Kategorie eine duale Kategorie zu, die im Wesentlichen dadurch entsteht, dass man alle Pfeile (das heißt Morphismen) umdreht. Die einfache Tatsache, dass dadurch wieder eine Kategorie entsteht, führt zu einem Dualitätsprinzip, dass einerseits zu jeder kategorientheoretischen Definition eine entsprechende duale Definition liefert und andererseits den Beweisaufwand durch Übergang zur dualen Kategorie verringert.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Kategorie, das heißt man hat eine Klasse von Objekten, zu je zwei Objekten   eine Menge (je nach Definition auch nur eine Klasse)   von Morphismen, die man auch als Pfeile   darstellt, und eine Komposition genannte Operation  , die zwei Morphismen   und   einen Morphismus   zuordnet, so dass gewisse Regeln gelten. Diese Regeln sind

Assoziativität:  , wann immer diese Kompositionen möglich sind.
Identischer Morphismus: Zu jedem Objekt   gibt es einen Morphismus  , so dass   für alle Morphismen  .

Die duale Kategorie   besteht aus

den Objekten von  
den Morphismenmengen  
und der Komposition   für   und  .[1][2][3]

Leicht zeigt man, dass diese Daten tatsächlich eine Kategorie definieren, und zwar mit denselben identischen Morphismen, indem die Forderungen an   auf die entsprechenden Eigenschaften von   zurückführt. Die Komposition in   schreibt man dann wieder mit dem typischen Kompositionszeichen   und muss gegebenenfalls erwähnen, in welcher Kategorie die Komposition ausgeführt wird.

Natürliches Auftreten dualer KategorienBearbeiten

Bei kontravarianten Funktoren   kehrt sich definitionsgemäß die Verknüpfungsreihenfolge um, das heißt für komponierbare Morphismen   und   aus   gilt  . Man erhält daraus einen gewöhnlichen (kovarianten) Funktor, indem man diesen als Funktor   oder   auffasst. Man kann umgekehrt kontravariante Funktoren als Funktoren auf dualen Kategorien definieren.[4]

Das prominenteste Beispiel ist der Hom-Funktor in der ersten Variablen. Für ein festes Objekt   ist   ein Funktor   bzw.  , wobei   die Kategorie der Mengen bezeichne. Manchmal tragen die  -Mengen zusätzliche Struktur, so dass man eine andere Zielkategorie erhält. Ist zum Beispiel   ein fest gewählter Körper und   die Kategorie der  -Vektorräume mit den  -linearen Abbildungen als Morphismen, so ist   nichts weiter als der Dualraum des Vektorraums  . Dieser Dualraumfunktor   ist ein Funktor  .

Ein weiteres wichtiges Anwendungsbeispiel dieses  -Funktors und der dualen Kategorie ist die Yoneda-Einbettung. Jedem Objekt   der Kategorie   wird der oben erwähnte Funktor   zugeordnet. In diesem Fall erhält man eine Einbettung der Kategorie   in die Funktorkategorie  .[5]

Das DualitätsprinzipBearbeiten

Trivialer Weise gilt  , denn wenn man einen Pfeil zweimal umdreht, befindet man sich wieder in der Ausgangssituation.[6]

Hat man einen kategorientheoretischen Begriff mittels Objekten und Morphismen definiert, so kann man dazu einen weiteren definieren, indem man alle Pfeile in der Definition umdreht, diesen nennt man den dualen Begriff. Beispielsweise ist ein Monomorphismus ein Morphismus  , so dass für je zwei Morphismen   mit   schon   gilt. Kehrt man die Pfeile und damit die Kompositionsreihenfolge um, so erhält man den Begriff des Epimorphismus. Das ist demnach ein Morphismus  , so dass für alle Morphismen   mit   schon   gilt. Damit sind die Monomorphismen in   genau die Epimorphismen in   und entsprechend sind die Epimorphismen in   genau die Monomorphismen in  , und das gilt wegen   auch jeweils umgekehrt.

Viele Konstruktionen erzeugen nur vordergründig bestimmte Objekte, genau genommen handelt es sich um Objekte mit Morphismen, die gewissen Bedingungen unterliegen. So ist das Produkt zweier Objekte   und   ein Objekt   mit zwei Morphismen   und  , so dass es zu allen anderen Objekten   mit Morphismen   und   genau einen Morphismus   gibt, so dass   und  . Diese Morphismenbedingungen lassen sich dualisieren (durch Umkehrung aller Pfeile), und man erhält den Begriff des Koproduktes. Genauso kann man kategorielle Eigenschaften dualisieren. So kann eine Kategorie endlich vollständig sein, das heißt alle endlichen Limiten enthalten. Die duale Eigenschaft, alle endlichen Kolimiten zu enthalten, heißt dann Kovollständigkeit.

Das Dualitätsprinzip liefert nun zu jeder Aussage über Objekte und Morphismen einer Kategorie   eine entsprechende duale Aussage. Jene Aussage gilt genau dann in  , wenn die duale Aussage in   zutrifft.[7][8]

Hat man beispielsweise eine kategorientheoretische Aussage, die für alle Monomorphismen aller Kategorien gilt, so gilt der duale Satz für alle Epimorphismen, denn diese sind ja gerade die Monomorphismen in der dualen Kategorie. So kann man aus dem Satz, dass die Komposition zweier Monomorphismen wieder ein Monomorphismus ist, mit Verweis auf das Dualitätsprinzip schließen, dass auch die Komposition zweier Epimorphismen wieder ein Epimorphismus ist. Hat man entsprechend einen Satz, der für alle Produkte in allen Kategorien gilt, so gilt die dualisierte Form auch für alle Koprodukte, denn diese sind je gerade die Produkte in der dualen Kategorie. Die Kategorientheorie enthält eine Unzahl von solchen dualen Begriffspaaren, die man in dieses Schema bringen kann. Häufig wird der duale Begriff einfach mit der Vorsilbe ko versehen, wie etwa bei den obigen Beispielen Produkt und Koprodukt, Vollständigkeit und Kovollständigkeit aber auch Kern und Kokern und viele mehr, oft hat man aber auch andere etablierte Begriffspaare wie Monomorphismus und Epimorphismus, Pullback und Pushout, oder Retraktion und Schnitt (letzteres nennt man auch Koretraktion).

Diese dualen Begriffsbildungen und Schlussweisen sind für Kategorientheoretiker derart selbstverständlich, dass sie die duale Version oft nicht einmal ausformulieren.[9]

Schließlich gibt es noch selbstduale Begriffe, das sind solche, bei der die Dualisierung zum selben Begriff führt. Als Beispiele wären hier Isomorphismus oder ausgeglichene Kategorie zu nennen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 2.6.3
  2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 4.12
  3. Saunders Mac Lane: Kategorien, Springer-Verlag 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, Kapitel II.2: Kontravarianz und duale Kategorien
  4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 9.5
  5. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 5.2.10
  6. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 4.14
  7. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, 4.15: The Duality Priciple
  8. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 3.6.18
  9. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Seite 35, Text hinter Satz 5.10