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Unterraum

Wikimedia-Begriffsklärungsseite

Als Raum bezeichnet man in der Mathematik eine Menge versehen mit einer mathematischen Struktur. Unter einem Unterraum oder Teilraum versteht man eine Teilmenge , welche bezüglich der Struktur im weitesten Sinne abgeschlossen ist. Die genaue Definition hängt von der Struktur ab.

BeispieleBearbeiten

UntervektorraumBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über einem Körper  . Eine Teilmenge   von   heißt Untervektorraum von  , wenn sie mit den von   induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

  •  
  • für alle   auch   (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) und
  • für alle   und alle   auch   (Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation)

gilt.

Topologischer RaumBearbeiten

  sei ein topologischer Raum auf der Menge   mit der Familie der offenen Mengen  . Jede Teilmenge   wird zu einem Unterraum, wenn darauf die Durchschnitte von   mit den in   offenen Mengen als offene Mengen des Unterraums definiert werden.   wird damit zu einem topologischen Raum, der die Unterraumtopologie trägt.

Dieser Unterraum erbt im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften des größeren Raumes  , zum Beispiel kann die Trennungseigenschaft T4 verloren gehen.

Metrischer RaumBearbeiten

  sei ein metrischer Raum. Jede Teilmenge   wird zu einem Unterraum   durch Einschränken der Metrik von   auf  .

Falls   ein vollständiger metrischer Raum ist, so ist   genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn   abgeschlossen ist.

Kategorielle DefinitionBearbeiten

Im Kontext einer Kategorie von Räumen definiert man einen Unterraum eines Raumes dadurch, dass ein bestimmter Monomorphismus in den Raum, in dem er enthalten sein soll, existiert. Je nach Situation fordert man etwa, dass der Monomorphismus extrem sein muss. Dies macht in nicht-ausgeglichenen Kategorien einen Unterschied, etwa in der Kategorie der topologischen Räume: Jede stetige Injektion ist dort ein Monomorphismus, dieser ist jedoch nicht unbedingt eine Einbettung im Sinne der Topologie, da das Bild eines Monomorphismus auch gröber sein kann als der potentielle Unterraum. Ein extremer Monomorphismus ist dagegen gerade eine topologische Einbettung.

LiteraturBearbeiten