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Die Quotiententopologie (auch Identifizierungstopologie genannt) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Anschaulich entsteht diese Topologie, wenn man Punkte „zusammenklebt“, d. h. zwei ehemals verschiedene Punkte als ein und denselben Punkt identifiziert. Solche Punkte werden mittels Äquivalenzrelationen festgelegt. Das geschieht im Allgemeinen, um neue topologische Räume aus bestehenden abzuleiten. Zu einer Verallgemeinerung dieser Konstruktion vergleiche den Artikel Finaltopologie.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein topologischer Raum und   eine surjektive Abbildung von Mengen. Dann ist die durch   induzierte Quotiententopologie auf   diejenige, in der eine Teilmenge   genau dann offen ist, wenn das Urbild   offen ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Als unmittelbare Folge der Definition ist die Abbildung   stetig.
  • Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie auf  , für die die Abbildung   stetig ist.
  • Versieht man   mit der Quotiententopologie, so ist   eine Quotientenabbildung: Ist   ein weiterer topologischer Raum und   eine Abbildung der zugrundeliegenden Mengen, so ist   genau dann stetig, wenn   stetig ist (universelle Eigenschaft der Quotiententopologie):

Wichtige SpezialfälleBearbeiten

  • Ist   eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum, so versieht man die Menge   der Äquivalenzklassen meist ohne weitere Erwähnung mit der von der kanonischen Abbildung   induzierten Quotiententopologie.
  • Ist insbesondere   eine topologische Gruppe und   eine Untergruppe von  , so versieht man die homogenen Räume   und   mit der Quotiententopologie.
  • Zusammenschlagen eines Teilraumes zu einem Punkt: Ist   ein topologischer Raum und   eine Teilmenge von  , so bezeichnet   die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte   äquivalent heißen, wenn sie gleich sind oder beide in   liegen. Die Abbildung   ist außerhalb von   injektiv, und das Bild von   ist ein einzelner Punkt.

BeispieleBearbeiten

  • Es sei   das Einheitsintervall und   die Einheitskreislinie. Dann ist die durch die Abbildung
 
induzierte Quotiententopologie auf   gleich der Teilraumtopologie von   als Teilmenge von  .
  • Ist   das Einheitsintervall und  , so ist der durch Zusammenschlagen von   zu einem Punkt entstehende Raum   homöomorph zur Kreislinie  . Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie das erste Beispiel, jedoch waren dort die Zielmenge und die Abbildung schon explizit gegeben, hier entstand sie erst durch die beim Zusammenschlagen implizite Äquivalenzrelation.
  • Der homogene Raum   ist ebenfalls homöomorph zur Kreislinie  
  • Im Gegensatz dazu besteht der Raum, den man erhält, wenn man die Teilmenge   von   zu einem Punkt zusammenschlägt, anschaulich gesprochen aus abzählbar unendlich vielen Kreisen, die in einem Punkt zusammengeklebt wurden.
  • Ist   eine ganze Ringerweiterung, so ist die durch die induzierte stetige Spektrenabbildung   induzierte Quotiententopologie auf   identisch mit der Zariski-Topologie auf diesem Raum.

LiteraturBearbeiten