Hauptmenü öffnen

Homomorphismus

verträgliche Abbildungen in der Mathematik

Als Homomorphismus (zusammengesetzt aus altgriechisch ὁμός homós ‚gleich‘ oder ‚ähnlich‘, und altgriechisch μορφή morphé ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine (oft algebraische) mathematische Struktur erhalten bzw. damit verträglich sind. Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsmenge verhalten.

Inhaltsverzeichnis

Homomorphismen algebraischer StrukturenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es seien   und   zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ   so dass für jedes   die Zahl   die (übereinstimmende) Stelligkeit der fundamentalen Operationen   und   bezeichnet.[1] Eine Abbildung   ist genau dann ein Homomorphismus von   in   wenn für jedes   und für alle   gilt:[2]

 .

BeispieleBearbeiten

Klassisches Beispiel von Homomorphismen sind Homomorphismen zwischen Gruppen. Gegeben seien zwei Gruppen   und   Eine Funktion

 

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente   gilt:

 

Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, dass

 

für die neutralen Elemente   und dann

 

für alle   gelten muss sowie, mittels vollständiger Induktion, dass

 

für eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren gilt.

An diesem Beispiel orientieren sich die Definitionen der Homomorphismen verschiedener algebraischer Strukturen:

EigenschaftenBearbeiten

Wir formulieren im Folgenden einige grundlegende Eigenschaften von Homomorphismen von Gruppen, die analog auch für die Homomorphismen der anderen algebraischen Strukturen gelten.

Komposition von HomomorphismenBearbeiten

Wenn   und   Homomorphismen sind, dann ist auch die durch

  für alle  

definierte Abbildung   ein Homomorphismus.

Untergruppen, Bild, Urbild, KernBearbeiten

Wenn   ein Homomorphismus ist, dann ist für jede Untergruppe   auch

 

genannt das Bild von   unter  , eine Untergruppe von  . Speziell wird die Untergruppe

 

als Bild von   bezeichnet. Weiterhin ist für jede Untergruppe   auch

 

genannt das Urbild von   unter  , eine Untergruppe von  . Das Urbild der trivialen Gruppe, d. i. die Untergruppe

 

wird als Kern von   bezeichnet. Sie ist sogar ein Normalteiler.

IsomorphismenBearbeiten

Falls   ein bijektiver Homomorphismus ist, dann ist auch   ein Homomorphismus. Man sagt in diesem Fall, dass   und   Isomorphismen sind.[3]

HomomorphiesatzBearbeiten

Wenn   ein Homomorphismus ist, dann induziert   einen Isomorphismus

 

der Quotientengruppe   auf  .

Homomorphismen relationaler StrukturenBearbeiten

Auch außerhalb der Algebra werden strukturerhaltende Abbildungen oft als Homomorphismen bezeichnet. Die meisten dieser Verwendungen des Begriffs Homomorphismus, einschließlich der oben aufgeführten algebraischen Strukturen, lassen sich unter der folgenden Definition subsumieren.[4]

DefinitionBearbeiten

Es seien   und   zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ   sodass   für jedes   die Stelligkeit der Relationen   und   bezeichnet. Eine Abbildung   heißt dann eine homomorphe Abbildung, eine Homomorphie oder ein Homomorphismus von   in   wenn sie für jedes   und für alle   die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:[5]

 

Schreibweise:

 

Da jede Funktion   als Relation   beschrieben werden kann, lässt sich jede algebraische Struktur als relationale Struktur auffassen und die spezielle algebraische Definition ist somit in dieser Definition enthalten.

Hat man in obiger Definition bei einem injektiven Homomorphismus sogar die Äquivalenz

 ,

so spricht man von einem starken Homomorphismus.[6]

BeispieleBearbeiten

VerallgemeinerungenBearbeiten

Auch Abbildungen, die verträglich sind mit Strukturen, die unendlichstellige Operationen besitzen, werden Homomorphismus genannt:

In einigen Teilgebieten der Mathematik beinhaltet der Begriff des Homomorphismus, dass die Verträglichkeit noch weitere Zusatzstrukturen umfasst:

Der Begriff erfährt auch eine Verallgemeinerung für heterogene Algebren, siehe Heterogene Algebra: Homomorphismen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Serge Lang: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 211). 3., überarb. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  • Nathan Jacobson: Basic algebra. I. 2. Auflage. W. H. Freeman and Company, New York 1985, ISBN 0-7167-1480-9.
  • Thomas W. Hungerford: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 73). Springer-Verlag, New York/ Berlin 1980, ISBN 0-387-90518-9. (Nachdruck der Ausgabe 1974)
  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence (RI) 1973, ISBN 0-8218-1025-1, S. 134–136.
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01638-8, S. 112–113.
  • Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, S. 55–62, 147.
  • George Grätzer: Universal Algebra. 2., aktualisierte Auflage. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-77486-2, S. 223–224, doi:10.1007/978-0-387-77487-9 (Erstausgabe: 1979).
  • Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: Relationen und Graphen. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1989, ISBN 3-540-50304-8, S. 144–153.
  • Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. Band 1: Moderne Algebra. Springer, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg/ New York 1971, ISBN 3-540-03561-3, S. 27–30.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8, S. 48, 19.

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Jede  -stellige Operation ist eine spezielle  -stellige homogene Relation (Funktion).
  2. Diese Definition ist mit der unten gegebenen verträglich, wenn man von einer Funktion   zur Relation  , die durch den Funktionsgraph gegeben ist, übergeht, denn dann gilt
     ,
    und genauso für  .
  3. Die Urbildfunktion  , die auf Mengen operiert, und die inverse Abbildung  , die auf Elementen operiert, sind streng genommen 2 verschiedene Funktionen. Sind Missverständnisse zu befürchten, dann setzt man im ersteren Fall die Mengen in eckige Klammern  .
  4. Eine allgemeine Definition wurde im klassischen Lehrbuch Moderne Algebra angegeben: „Wenn in zwei Mengen   und   gewisse Relationen (wie   oder  ) definiert sind und wenn jedem Element   von   ein Bildelement   so zugeordnet ist, daß alle Relationen zwischen Elementen von   auch für die Bildelemente gelten (so daß z. B. aus   folgt   wenn es sich um die Relation   handelt), so heißt   eine homomorphe Abbildung oder ein Homomorphismus von   in  “ (B. L. van der Waerden: Algebra. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). Teil I, Siebte Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ New York 1966 (Einleitung zu Paragraph 10))
  5. Manche Autoren (Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin/ Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1, S. 7.; Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 1973, S. 134.) nennen einen Homomorphismus auch nur kurz „Morphismus“, während andere (Fritz Reinhardt, Heinrich Sonder: dtv-Atlas Mathematik. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 9. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1991, ISBN 3-423-03007-0, S. 36–37.) jede strukturverträgliche Abbildung „Morphismus“ nennen und nur einen Homomorphismus von algebraischen Strukturen als „Homomorphismus“ bezeichnen.
  6. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 3-86025-461-8, Abschnitt 1.3 Homomorphismen. S. 20.
  7. Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. 3., vollst. überarb. u. erw. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1992, ISBN 3-411-15603-1, S. 225.
  8. Jeder stetige Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen ist glatt.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Homomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen