Modulhomomorphismus

In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Moduln und über einem Ring , welche mit der Modulstruktur verträglich ist. Sie übersetzt beispielsweise die Addition von in die Addition von . Eine Addition kann man zweifach übersetzen.

  1. Man addiert zunächst in und übersetzt dann mit .
  2. Man übersetzt mit die Summanden und berechnet die Summe in .

Bei einem Homomorphismus ergibt sich stets dasselbe. Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus. Der Ring braucht nicht kommutativ zu sein.

HomomorphismusBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es seien zwei Rechtsmoduln   über einem Ring   gegeben. Eine Abbildung   heißt Homomorphismus von   nach  , wenn für alle   und alle   gilt:

  und  

Entsprechend erklärt man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln: Eine Abbildung   zwischen zwei Linksmoduln   und   über dem Ring   heißt Homomorphismus von   nach  , wenn für alle   und alle   gilt:

  und  

Die Menge der Homomorphismen von   nach   wird mit   bezeichnet.

Ein Homomorphismus   von einem Modul   in sich selbst heißt Endomorphismus von  .

Sind   und   zwei  - -Bimoduln über Ringen   und  , so heißt eine Abbildung   ein Homomorphismus von S-R-Bimoduln, wenn für alle   gilt:

  und  .

BeispieleBearbeiten

  1. Ist   ein beliebiger Modul, so gibt es genau einen Homomorphismus  , nämlich  . Es ist   ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Rechtsmoduln. Genauso gibt es nur einen Homomorphismus  , die Nullabbildung (  für alle  ). Es ist auch   ein Endobjekt. Man fasst zusammen, wenn man sagt,   ist ein Nullobjekt.
  2. Die Identität   ist ein Homomorphismus.
  3. Das Zentrum eines Ringes   ist die Menge   ist ein Unterring des Ringes  . Ist   im Zentrum des Ringes, so ist   ein Homomorphismus.
  4. Sind   zwei Homomorphismen, so ist ihre Summe   ein Homomorphismus.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   ein Homomorphismus und ist   ein Untermodul von   so ist   ein Untermodul von  . Insbesondere ist   ein Untermodul von  . Dieser Untermodul heißt Kern des Homomorphismus  . Er wird oft mit   oder auch einfach   bezeichnet.
  • Ist   ein Untermodul von   und   ein Modulhomomorphismus, so ist   ein Untermodul von  . Er heißt Bild von   unter  . Insbesondere ist  , die Bildmenge von  , ein Untermodul von  . Er wird oft mit   oder einfach   bezeichnet.
  • Die Verkettung oder Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Menge der Moduln über einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie.
  • Ist   ein Modul, so bildet die Menge der Endomorphismen einen unitären Ring. Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung.

MonomorphismusBearbeiten

SatzBearbeiten

Für einen Homomorphismus   zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.

  1.  
  2. Für alle   mit   ist  .
  3.   ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln   und alle Homomorphismen   gilt:  .

Erfüllt ein Homomorphismus   eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt   Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass   im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.

BeispieleBearbeiten

  1. Ist   ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung   ein Monomorphismus.
  2. Jeder  -Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphismus.

BemerkungenBearbeiten

  1. Sind   und   Monomorphismen, so ist   ein Monomorphismus.
  2. Ist   ein Monomorphismus, so ist   ein Monomorphismus.
  3. Ist   ein Monomorphismus, so ist  .

EpimorphismusBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Für einen Modulhomomorphismus   sind folgende Aussagen äquivalent:

  1.  . Dabei ist   der Faktormodul von N modulo f(M).
  2. Die Abbildung   ist surjektiv.
  3.   ist rechts kürzbar. Das heißt, für alle Moduln   und alle Homomorphismen   gilt:  .

Ein Homomorphismus, der eine und damit alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Epimorphismus. Die dritte Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist.

BeispieleBearbeiten

  1. Die Identität   ist ein Epimorphismus.
  2. Ist   ein Integritätsring und   sein Quotientenkörper, so ist jeder Homomorphismus   ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
  3. Es sei p eine Primzahl und   der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der   enthält. Ist  , so ist jeder Endomorphismus von  , der ungleich der Nullabbildung ist, ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.

EigenschaftenBearbeiten

  1. Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
  2. Ist   und   ein Epimorphismus, so ist   ein Epimorphismus und es ist  .

IsomorphismenBearbeiten

Ein Homomorphismus   heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus   gibt, so dass   und   ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn   ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist. Dabei ist   die Identität auf dem Modul   und   analog die Identität auf dem Modul  . Zwei Moduln   heißen isomorph, in Zeichen  , wenn es einen Isomorphismus   gibt.

Produktzerlegungen von HomomorphismenBearbeiten

HomomorphiesatzBearbeiten

Ist   ein Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus  , so dass   gilt. Dabei ist   mit   der kanonische Epimorphismus.   ist stets ein Monomorphismus. Ist   ein Epimorphismus, so ist   ein Isomorphismus.

Der Homomorphiesatz besagt also, dass das folgende Diagramm kommutiert.

 

1. IsomorphiesatzBearbeiten

Seien   Untermoduln von   Dann gilt:  . Der Isomorphismus ist  

Folgerung: Seien   und   Untermoduln von   mit  , so ist  .[1]

2. IsomorphiesatzBearbeiten

Es seien   Untermoduln von  . Dann gilt:

 .[2]

Der Hom-FunktorBearbeiten

Sind   Moduln, so ist   die Menge der Homomorphismen  .

Moduleigenschaften von HomBearbeiten

  • Die Menge   wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen   die Summe folgendermaßen definiert ist:  .
  • Ist   ein   Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring   und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring  , so wird   auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring  , wenn man für   und   definiert:  . Ist insbesondere   der Endomorphismenring von  , so ist   auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring  .
  • Ist   ein   Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring   und auf der rechten Seite über dem Ring  , so wird   auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring  , wenn man für   und   definiert:  .

Der kovariante Funktor HomBearbeiten

Ist   ein Modul, so ordnet man jedem Modul   die abelsche Gruppe   zu. Jedem Homomorphismus   wird der Homomorphismus   zugeordnet. Es gilt dann für alle  :  . Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet.   ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring   in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist   wie oben ein   Bimodul, so ist   ein Funktor von der Kategorie der Moduln über   in die Kategorie der Moduln über  .

Linksexaktheit von HomBearbeiten

Für einen Komplex  , das heißt, es gilt  , sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  •   ist exakt.
  • Für alle Moduln   ist   exakt.
  • Es gibt einen Generator  , so dass die Folge   exakt ist.

Auch wenn   surjektiv ist, so ist das für   im Allgemeinen nicht der Fall, das heißt, der Hom-Funktor ist im Allgemeinen nicht exakt. Die Abweichung von der Exaktheit wird durch den Ext-Funktor gemessen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Friedrich Kasch, Moduln und Ringe, Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57
  2. Friedrich Kasch, Moduln und Ringe, Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58

LiteraturBearbeiten

  • Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1