Exakte Sequenz

mathematisches Teilgebiet

Der Begriff der exakten Sequenz oder exakten Folge spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen.

DefinitionBearbeiten

Eine Sequenz

 

von Objekten und Morphismen in einer geeigneten Kategorie heißt exakt an der Stelle  , wenn

 

gilt, d. h. wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nächsten ist. Eine längere Sequenz

 

heißt exakt, wenn sie exakt an den Stellen  ,   und   ist (analog für kürzere oder längere Sequenzen).

Geeignet in diesem Sinne ist eine Kategorie offenbar nur dann, wenn sinnvoll von Kern und Bild gesprochen werden kann. Dies ist der Fall für alle abelschen Kategorien, aber auch beispielsweise für die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.

BeispieleBearbeiten

  • Ist   ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen, dann ist   und  . Die Folge   ist daher exakt an der Stelle  , wenn   ist.
  • Eine Sequenz   ist genau dann exakt, wenn   ein Monomorphismus, d. h. injektiv ist. Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden: 
  • Eine Sequenz
  ist genau dann exakt, wenn   ein Epimorphismus, d. h. surjektiv ist. Unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:
 
  • Für jeden Homomorphismus   von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Moduln, jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) existiert eine exakte Sequenz, wie folgt:
 
In Grp ist die Sequenz jedoch bei   nur exakt, wenn das Bild von   ein Normalteiler in   ist. Auch in additiven, aber nicht abelschen Kategorien ist die Exaktheit nicht notwendigerweise gegeben. Dabei bezeichnet   den Kokern von  .
  • Für eine Gruppe   seien
    •   das Zentrum,
    •   die Gruppe der Automorphismen,
    •   die Gruppe der inneren Automorphismen und
    •   die Gruppe der äußeren Automorphismen
von  . Dann ist die Sequenz
 
exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch
 
gegeben.

Kurze exakte SequenzenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine exakte Sequenz der Form

 

heißt kurze exakte Sequenz.

Zerfallende kurze exakte SequenzenBearbeiten

Eine kurze exakte Sequenz zerfällt, wenn   einen Schnitt hat. Vereinzelt wird anstatt zerfällt auch die Bezeichnung spaltet auf benutzt, die auf eine nicht ganz korrekte Übersetzung des englischen Begriffs split zurückzuführen ist.

In einer additiven Kategorie folgt hieraus auch, dass   eine Retraktion hat, dass die entstehende Sequenz

 

ebenfalls exakt ist und dass diese Sequenzen isomorph zu

 

bzw.

 

sind.

Zerfällt eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen, ergibt sich daraus lediglich eine Operation von   auf  , und dass   semidirektes Produkt von   und   bezüglich dieser Operation ist. Beispielsweise ist die zyklische Gruppe   Untergruppe der symmetrischen Gruppe  , woraus sich die kurze exakte Sequenz

 

ergibt; indem man das nicht-neutrale Element der   auf ein Element der Ordnung 2 in   abbildet, erhält man eine Spaltung.

Aufteilung einer langen exakten SequenzBearbeiten

Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man Kerne und Kokerne einfügt: Ist

 

eine exakte Sequenz, so sei

 

Dann gibt es kurze exakte Sequenzen

 

Ist   ein Kettenkomplex, so ist die Exaktheit all dieser kurzen Sequenz äquivalent zur Exaktheit der langen Sequenz.

ErweiterungenBearbeiten

Im Kontext einer kurzen exakten Sequenz

 

sagt man auch, dass   eine Erweiterung von   durch   ist.

Ist zum Beispiel   ein Normalteiler in der Gruppe   und   die Faktorgruppe, so erhält man eine kurze, exakte Sequenz

 ,

wobei der zweite Pfeil die Einbettung von   in   und der dritte die Quotientenabbildung ist. Damit ist   eine Erweiterung von   und   und man kann die Frage nach einer Klassifikation aller möglichen Erweiterungen von   und   stellen. Entsprechende Fragestellungen erhält man etwa in der Kategorie der Ringe oder Moduln über einem festen Ring. Dies führt zu mathematischen Begriffen wie Ext oder Gruppenkohomologie.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten