Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

DefinitionenBearbeiten

  • Ein Objekt   heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt   der Kategorie genau einen Morphismus   gibt.
  • Ein Objekt   heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt   der Kategorie genau einen Morphismus   gibt.
  • Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Endobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
  • Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

  • Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
  • Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

BeispieleBearbeiten

  • In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
  • In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.
  • In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
  • In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.
  • In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
  • In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
  • In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
  • Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von   nach   geht, wenn   gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Kategorien mit NullobjektenBearbeiten

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt  , so gibt es zu je zwei Objekten   und   stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus  , der die Verkettung von

 

ist. Genauer schreibt man  , um die Abhängigkeit von   und   auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt   nur für   und  .

Nullmorphismen   in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus   auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von   abbilden. Beispiele sind:

  • In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus   derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus   auf das neutrale Element von   abbildet, das heißt   für alle  .
  • In der Kategorie der Moduln über einem Ring   ist der Nullmorphismus   diejenige  -lineare Abbildung, die jedes Element aus   auf das Nullelement von   abbildet, das heißt   für alle  .
  • In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus   diejenige Abbildung, die jedes Element aus   auf den ausgezeichneten Punkt   abbildet, das heißt   für alle  . Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus  , dieser ist als Differenzkern des Paares   definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

LiteraturBearbeiten

  • Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen