Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

DefinitionBearbeiten

In einer Kategorie seien zwei Morphismen   gegeben. Ein Differenzkern von   und   ist ein Morphismus   mit folgenden Eigenschaften:

  •   und
  • zu jedem Morphismus  , für den   gilt, gibt es genau einen Morphismus  , so dass  .[1][2]

 

BeispieleBearbeiten

 
ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist
 
automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz   zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.
  • In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
  • Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition   der Nullmorphismus  , so ist ein Differenzkern von   und   nichts anderes als ein Kern von  . Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

BemerkungenBearbeiten

  • Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition   und   zwei Differenzkerne von   und  , so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus   mit   gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit   bezeichnet.
  • In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt   den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
  • Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen   einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und  -Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set2 der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.[3]
  • Differenzkerne sind Monomorphismen.[4] Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.

Äquivalente BeschreibungBearbeiten

Ein Differenzkern zweier Morphismen   in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt   von   beschrieben werden:

 

wobei

 
 

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in   sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

 

dann gilt für alle   und alle   für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

 

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
  2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
  3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9
  4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4