Monomorphismus

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Monomorphismus (von griechisch μόνος monos „ein, allein“ und μορφή morphé „Gestalt, Form“) ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Algebra und der Kategorientheorie. In der Algebra bezeichnet er einen Homomorphismus, der injektiv ist. In der Kategorientheorie verallgemeinert er den Begriff der injektiven Abbildung und erlaubt es, Objekte als Unterobjekte von anderen aufzufassen.

Man beachte, dass die universelle Algebra und die Kategorientheorie jeweils einen zu Monomorphismus dualen Begriff, nämlich den Epimorphismus, erklären, diese beiden Epimorphismus-Begriffe jedoch nicht äquivalent sind.

Monomorphismen algebraischer StrukturenBearbeiten

Ein Homomorphismus von

der injektiv ist, heißt Monomorphismus.

BeispieleBearbeiten

  • Die Abbildung   mit   ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
  • Die Abbildung   mit   ist zwar ein Gruppenhomomorphismus, aber nicht injektiv.
  • Ein Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (insbesondere Vektorräumen) ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist. Für einen beliebigen Homomorphismus   von Gruppen, Ringen oder Moduln (bzw. Vektorräumen) ist
 
ein Monomorphismus, wenn   die kanonische Abbildung auf der Restklassenstruktur ist. Denn es gilt   und damit ist   trivial.
  • Homomorphismen von Körpern sind stets injektiv, also stets Monomorphismen.

Monomorphismen relationaler StrukturenBearbeiten

Für allgemeinere Strukturen (im Sinne der Modelltheorie), insbesondere für relationale Strukturen, ist ein Monomorphismus definiert als injektiver starker Homomorphismus.[1] Äquivalent dazu: Die Abbildung ist ein Isomorphismus auf ihr Bild. Für den Spezialfall algebraischer Strukturen erhält man die obige Definition, da jeder Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen stark ist.

Monomorphismen in beliebigen KategorienBearbeiten

DefinitionBearbeiten

In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus   mit folgender Eigenschaft:[2]

Sind   beliebige Morphismen mit  , dann folgt   (Man sagt auch:   ist linkskürzbar).

  (zusammen mit  ) heißt dann ein Unterobjekt von  .

In Kategorien von algebraischen Strukturen sowie in den Kategorien der Mengen oder der topologischen Räume sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen. Es gibt aber auch konkrete Kategorien mit nicht-injektiven Monomorphismen.

In den Pfeildiagrammen der homologischen Algebra wird ein Monomorphismus   als kurze exakte Sequenz

 

oder unter Verwendung eines Hakenpfeils mit zwei Termen als

 

notiert.

Beispiel eines nicht injektiven MonomorphismusBearbeiten

Wir betrachten die Kategorie   der teilbaren abelschen Gruppen: Die Objekte sind die abelschen Gruppen  , für die folgendes gilt:

Für alle   und alle  ,  , existiert ein   mit  ; das Element   lässt sich also „durch   teilen“.

Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen.

Die Gruppen   und   sind teilbare abelsche Gruppen. Die kanonische Projektion   ist surjektiv und ein Monomorphismus in  , aber nicht injektiv.

Ist nämlich   eine beliebige teilbare Gruppe und sind   zwei Morphismen mit der Eigenschaft  , dann gilt  . Wäre nun  , dann gäbe es ein   mit  . Falls  , vertausche die Rollen von   und  ; somit bleibt der Fall  . Weil   teilbar ist, gäbe es dann ein   mit  . Dann wäre aber

 ,

also  , was   widerspräche.

Extremale MonomorphismenBearbeiten

Ein Monomorphismus   heißt extremal, wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist   und   ist ein Epimorphismus, dann muss   ein Isomorphismus sein.

Weil   automatisch ein Monomorphismus ist, sind in Kategorien, in denen alle Bimorphismen (das sind Monomorphismen, die Epimorphismen sind) bereits Isomorphismen sind, alle Monomorphismen extremal. Dies hat man zum Beispiel in der Kategorie der Mengen und der Kategorie der Gruppen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen. In der Kategorie der Hausdorff-Räume sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen.

In der Kategorie der Banachräume sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen  , für die es ein positives   gibt so dass für alle   aus dem Definitionsbereich gilt:

 

UnterobjekteBearbeiten

Zu einem gegebenen Objekt   einer Kategorie   kann man die Unterkategorie   der Scheibenkategorie   betrachten, deren Objekte allesamt Monomorphismen in   sind. Parallele Pfeile sind hier immer identisch; es handelt sich also um eine Quasiordnung. Die partielle Ordnung   der Unterobjekte von   ist nun diejenige, die aus   durch den Übergang zu Isomorphieklassen entsteht.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, S. 21.
  2. Steve Awodey: Category theory. Clarendon Press, Oxford 2010, ISBN 0-19-923718-2, S. 25.