Kommakategorie

Eine Kommakategorie ist eine Konstruktion in der mathematischen Kategorientheorie, die 1963 von F. W. Lawvere eingeführt wurde. Der Name ergibt sich aus der ursprünglich von Lawvere verwendeten Notation.

DefinitionBearbeiten

Für die allgemeinste Konstruktion der Kommakategorie betrachtet man zwei Funktoren. Typischerweise ist einer von beiden auf der terminalen Kategorie definiert: viele kategorientheoretische Darstellungen betrachten nur diesen Fall.

Seien  ,   und   Kategorien,   und   Funktoren  . Die Kommakategorie   ist folgendermaßen definiert:

  • Die Objekte sind Tripel  , wobei   Objekt in  ,   Objekt in   und   Pfeil in   ist.
  • Die Pfeile von   nach   sind Paare  , wobei   und   jeweils Pfeile in   und   sind, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
 
Die Verkettung von Pfeilen ist durch   definiert.[1]

SpezialfälleBearbeiten

Kategorie der Objekte unter ABearbeiten

Der erste Spezialfall tritt ein, wenn   terminal (d. h. es gibt genau ein Objekt und dessen Identität ist der einzige Morphismus) und   identischer Funktor ist (also  ). Dann ist in obiger Definition   für ein festes Objekt   in  . Die diesbezügliche Kommakategorie heißt Kategorie der Objekte unter  , geschrieben  . Die Objekte   können kurz   notiert werden, da die Festlegung von   die Angabe von   überflüssig macht;   notieren wir kurz als   - oft wird   auch   genannt, insbesondere, wenn es sich um Injektionen handelt. Ähnlich können wir die Darstellung eines Pfeils   auf   reduzieren, da   stets als   gewählt wird. Das folgende Diagramm kommutiert:

  ist ein Anfangsobjekt von  . Ist   bereits ein Anfangsobjekt von  , so ist   isomorph zu  .

Beispiele:

  • Die Kategorie der kommutativen, unitären  -Algebren für einen Körper   ist isomorph zur Kategorie der kommutativen, unitären Ringe unter  .

Kategorie der Objekte über ABearbeiten

Analog können wir   identisch und   terminal wählen. Wir erhalten dann die Kategorie der Objekte über   (wobei   das durch   ausgewählte Objekt von   ist). Diese Kommakategorie notieren wir als  ; in der algebraischen Geometrie ist die Bezeichnung   üblich. Sie ist das duale Konzept zu Objekten unter  . Die Objekte sind Paare   mit  ; dabei steht   für Projektion auf  . Ein Pfeil in der Kommakategorie mit Quelle   und Ziel   wird durch eine Abbildung   gegeben, die das folgende Diagramm kommutieren lässt:

  ist ein Endobjekt von  . Ist   bereits ein Endobjekt von  , so ist   isomorph zu  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98403-8, Kap. II.6: Comma Categories