Injektives Objekt

Injektives Objekt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

DefinitionBearbeiten

In einer Kategorie   heißt ein Objekt   injektiv, wenn es zu jedem Monomorphismus   und jedem   ein   gibt, so dass   ist.

Demnach ist   genau dann injektiv, wenn für alle Monomorphismen   die induzierte Abbildung   surjektiv ist.

BeispieleBearbeiten

  • In der Kategorie der Mengen Me ist jede Menge injektiv.
  • Injektive Objekte in der Kategorie der abelschen Gruppen sind die teilbaren Gruppen, d. h. diejenigen Gruppen, für die die Multiplikation mit einer ganzen Zahl ungleich Null surjektiv ist; Beispiele sind   und  .
  • In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper ist jedes Objekt injektiv.
  • Jedes terminale Objekt in einer Kategorie ist injektiv.
  • Ist   eine Familie von injektiven Objekten, so ist das Produkt dieser Familie injektiv, falls es existiert.
  • Hat die Kategorie ein Nullobjekt, so ist ein Produkt von injektiven Objekten genau dann injektiv, wenn jedes   injektiv ist.
  • Ist   injektiv, so ist jeder Monomorphismus   ein Schnitt (Das heißt, es gibt ein   mit  ).
  • In der Kategorie der topologischen Räume ist die Menge   nicht injektiv, denn die Inklusionsabbildung   ist kein Schnitt. Es gibt keine stetige surjektive Funktion  . Dies ist eine Folgerung aus dem Zwischenwertsatz.

Injektive ModulnBearbeiten

Für einen Rechtsmodul   über einem Ring   sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1.   ist in der Kategorie der Rechtsmoduln injektiv.
  2. Für jeden Monomorphismus   gibt es ein   mit  . Dabei ist   die Identität auf  .
  3. Baersches Kriterium:[1] Für jedes Rechtsideal   und jedem Homomorphismus   gibt es ein  , so dass   ist.

Injektive Moduln wurden 1940 von Reinhold Baer eingeführt, der allerdings das Adjektiv complete (d. h. vollständig) statt injektiv verwendete.[2] Die deutsche Bezeichnung injektiver Modul lässt sich 1953 belegen.[3]

BeispieleBearbeiten

  1. Ein Ring ist halbeinfach genau dann, wenn jeder Modul über dem Ring injektiv ist. Daher ist jeder Vektorraum über einem Schiefkörper injektiv. Aus dem Baerschen Kriterium ergibt sich, dass über Hauptidealringen genau die teilbaren Moduln injektiv sind. Dabei ist ein Modul teilbar genau dann, wenn   ist für alle Ringelemente  .
  2. Ist   eine Familie von Moduln, so ist das direkte Produkt der Familie genau dann injektiv, wenn jedes   injektiv ist.
  3. Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn die direkte Summe von injektiven Moduln injektiv ist. Dies ist eine Verallgemeinerung der entsprechenden Aussage über teilbare abelsche Gruppen.
  4. Über einem erblichen (hereditären) Ring ist jedes epimorphe Bild eines injektiven Moduls injektiv. Dies ist eine Verallgemeinerung des entsprechenden Satzes über teilbare Gruppen.
  5. Über einem Integritätsring ist ein torsionsfreier Modul genau dann injektiv, wenn er teilbar ist.
  6. Ist   ein unitärer Ringhomomorphismus, so ist   auf beiden Seiten ein S-Modul. Ist   ein weiterer S-Modul, so trägt die Menge der S-Homomorphismen   auf der rechten Seite eine R-Modulstruktur durch  . Es gilt: Ist   als S Modul injektiv, so ist   ein injektiver R-Modul. Besonders wichtig ist dies im Fall  . Ist   eine teilbare Gruppe, also als  -Modul injektiv, so ist   ein injektiver R-Modul.

Es gibt genügend viele injektive ModulnBearbeiten

Jeder Modul   kann monomorph in einen injektiven Modul abgebildet werden.[4]

Injektive HülleBearbeiten

Ein Untermodul   heißt groß , wenn   der einzige Untermodul von   ist, der mit   den Durchschnitt   hat. Ein Monomorphismus   heißt wesentlich, wenn   groß in   ist. Es gilt:

Jeder Modul kann wesentlich in einen injektiven Modul   abgebildet werden. Der Modul   ist durch diese Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Er heißt injektive Hülle von M und wird oft mit   bezeichnet[5].

Unzerlegbare injektive ModulnBearbeiten

Ein Modul   heißt direkt unzerlegbar, wenn er nicht direkte Summe zweier Untermoduln ungleich Null ist. Für einen Modul   sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Jeder Untermodul ungleich dem Nullmodul ist groß in  .
  2. Die injektive Hülle   ist direkt unzerlegbar.
  3.   ist die injektive Hülle eines jeden Untermoduls ungleich Null.
  4. Der Endomorphismenring von   ist lokal.

Ein Modul, der die äquivalenten Eigenschaften des Satzes erfüllt heißt uniform .   wird dann oft auch irreduzibel (durchschnittsirreduzibel) genannt.

BeispieleBearbeiten

  • Jeder einfache Modul ist uniform, besitzt also eine direkt unzerlegbare injektive Hülle.
  • Ist   ein Primideal in dem kommutative Ring  , so ist   uniform. Insbesondere ist jeder Integritätsring uniform als Modul.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 113, ISBN 3-519-02211-7
  2. Reinhold Baer: Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 46, Nr. 10, Oktober 1940, S. 800–806, doi:10.1090/S0002-9904-1940-07306-9.
  3. B. Eckmann, A. Schopf: Über injektive Moduln. In: Archiv der Mathematik. Band 4, Nr. 2, April 1953, S. 75–78, doi:10.1007/BF01899665.
  4. Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 114, ISBN 3-519-02211-7
  5. Friedrich Kasch, "Moduln und Ringe", Teubner, Stuttgart 1977, Seite 118, ISBN 3-519-02211-7

Siehe auchBearbeiten