Differenzkokern

Der Differenzkokern ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um den zum Differenzkern dualen Begriff. Alternative Bezeichnungen sind Koegalisator oder, der englischen Bezeichnung nachempfunden, Koequalizer. Auch die Schreibweisen mit „c“, das heißt Differenzcokern, Coegalisator bzw. Coequalizer, sind gebräuchlich.

DefinitionBearbeiten

In einer Kategorie seien zwei Morphismen   gegeben. Ein Differenzkokern von   und   ist ein Morphismus   mit folgenden Eigenschaften:

  •  
  • Ist auch   ein Morphismus mit  , so gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus   mit  .[1][2]
     

BeispieleBearbeiten

  • In der Kategorie Set der Mengen oder der Kategorie Top der topologischen Räume seien   wie in obiger Definition. Es sei weiter   die kleinste Äquivalenzrelation auf  , die alle Paare   enthält. Dann ist die Identifizierungsabbildung   ein Differenzkokern von   und  .[3]
  • In der Kategorie  -Mod der Linksmoduln über einem Ring   sei in der Situation obiger Definition   der von allen Differenzen   erzeugte Untermodul von  . Dann ist die Quotientenabbildung   ein Differenzkokern von   und  . Dies ist also nichts anderes als der Kokern der Differenz  , was die Bezeichnung Differenzkokern erklärt.
  • Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition   der Nullmorphismus  , so ist ein Differenzkokern von   und   nichts anderes als ein Kokern von  . Damit ist jeder Kokern ein Beispiel für einen Differenzkokern.

BemerkungenBearbeiten

  • Differenzkokerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition   und   zwei Differenzkokerne von   und   so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus   mit   gibt. Differenzkokerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkokern spricht.
  • In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt   den Differenzkokern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Quotientenabbildung und bleibt daher unerwähnt.
  • Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkokerne, wenn es zu je zwei Morphismen   einen Differenzkokern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und  -Mod haben offenbar Differenzkokerne.
  • Die Differenzkokerne einer Kategorie sind genau der Differenzkerne der dualen Kategorie.
  • Ein Morphismus   ist genau dann ein Differenzkokern von  , wenn das Diagramm
     
ein Pushout ist.[4]
  • Jeder Differenzkokern ist ein Epimorphismus. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, diejenigen Epimorphismen, die als Differenzkokern auftreten, nennt man regulär.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
  2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
  3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 16.3 (2)
  4. H. Schubert: Kategorien II, Akademie-Verlag Berlin 1970, Satz 18.4.3