In der Kategorientheorie bezeichnet (oder einfach , wenn der Bezug zur Kategorie klar ist, oder auch oder ) die Menge der Homomorphismen (oder Morphismen) von einem Objekt zu einem Objekt einer Kategorie und zählt somit zu den grundlegenden Daten einer Kategorie. Die jeweilige Abbildung ist der Hom-Funktor zu der Kategorie .

Wenn beispielsweise die Objekte der Kategorie aus „Mengen mit zusätzlichen Eigenschaften“ bestehen (z. B. Gruppen, topologische Räume), so sind die zugehörigen Morphismen im Allgemeinen genau die mit diesen Eigenschaften verträglichen Abbildungen (zum Beispiel Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen).

Hom als FunktorBearbeiten

Man kann   jedoch auch auffassen als Abbildung, die jedem Paar   von  -Objekten eine Menge   zuordnet. Man hat jedoch noch mehr: Ist   ein  -Morphismus, also ein Element von  , so kann man jedem   den Homomorphismus   zuordnen und erhält so eine Abbildung

 

Ebenso erhält man zu einem Homomorphismus   eine Abbildung

 

indem man   auf   abbildet. Kombiniert erhält man eine Abbildung

 

Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften:

  •  , wobei   usw. die Identität des jeweiligen Objektes bezeichnet.
  •  , soweit die Verknüpfungen definiert sind (d. h. entsprechende Definitions- und Zielbereiche übereinstimmen).

In der kategorientheoretischen Sprache kann man dies unter Verwendung der Begriffe der dualen Kategorie und der Produktkategorie so ausdrücken:

  ist ein Funktor von   in die Kategorie Set der Mengen. Man beachte: Objekte von   sind Paare   von  -Objekten, Morphismen von   nach   sind Paare   von Morphismen, wobei   und   ist, und es ist  , soweit definiert.

Insbesondere erhält man so zu einem festen Objekt   einen kovarianten Funktor   und einen kontravarianten Funktor   von   nach Set, die sogenannten partiellen Hom-Funktoren.

Verträglichkeit mit ZusatzstrukturenBearbeiten

Im Allgemeinen ist   lediglich eine Menge (falls die Kategorie lokal klein ist) und trägt selbst nicht automatisch eine zusätzliche Struktur, abgesehen etwa davon, dass die Endomorphismen   unter Komposition ein Monoid mit   als neutralem Element bilden. Sind jedoch beispielsweise die Objekte von   abelsche Gruppen oder R-Moduln für einen Ring R, so können Homomorphismen punktweise addiert und/oder mit Elementen aus R multipliziert werden, und somit bildet   dann selbst eine abelsche Gruppe bzw. einen R-Modul. Man überprüft dann unmittelbar, dass die oben definierten Zuordnungen hiermit verträglich sind und dass somit   in diesen Fällen sogar als Funktor in die Kategorie Ab der abelschen Gruppen bzw. die Kategorie R-Mod der R-Moduln aufgefasst werden kann.

Je nach betrachteter Kategorie   sind weitere solche Zusatzstrukturen auf   möglich. Das heißt,   wird als Objekt einer Kategorie, die nicht unbedingt die Kategorie der Mengen ist, aufgefasst. Allgemein spricht man von einer über einer Kategorie   angereicherten Kategorie (auch:  -Kategorie), wenn der Hom-Funktor auf   ein Funktor in die Kategorie   ist und eine gewisse Verträglichkeit aufweist, die unterschiedlich gewählt werden kann, etwa mit einer gewählten monoidalen Struktur auf  . Jede lokal kleine Kategorie ist über der Kategorie der Mengen mit dem kartesischen Produkt als monoidaler Struktur angereichert. Eine präadditive Kategorie ist eine über der Kategorie der abelschen Gruppen mit dem üblichen Tensorprodukt angereicherte Kategorie.

Auch über ganz simplen Kategorien, deren Objekte keine Mengen sind, kann man anreichern. Die Kategorie   habe zwei Objekte und neben den Identitäten einen interessanten Pfeil zwischen den Objekten. Sie hat endliche Produkte als monoidale Struktur. Unter dieser ist eine  -Kategorie eine Quasiordnung. Die Quasiordnung   kann mit Summen- (" ") oder Maximumsbildung (" ") als monoidale Struktur ausgestattet werden. Man erhält als  -Kategorien verallgemeinerte metrische Räume, und als  -Kategorien Mengen mit verallgemeinerter Ultrametrik. (Die Verallgemeinerung besteht darin, dass Symmetrie nicht gefordert wird und Punkte mit einem Abstand von Null nicht identisch sein müssen.)

AnwendungenBearbeiten

Bei der Untersuchung abelscher Kategorien spielt auch der Ext-Funktor, der abgeleitete Funktor zu Hom, eine wichtige Rolle.