Abelsche Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang gilt dies auch für additive Kategorien.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge   für Objekte  .

  ist eine präadditive Kategorie, wenn zusätzlich folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Die Komposition von Morphismen ist biadditiv, das heißt für Morphismen   und   gilt   bzw.  , wobei die Additionen in den Morphismengruppen jeweils mit demselben Symbol   bezeichnet sind.

  ist eine additive Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  ist eine abelsche Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden (stärkeren) Bedingungen erfüllt sind:

  • Es gibt ein Nullobjekt.
  • Es gibt (endliche) Biprodukte, d. h. zu je zwei Objekten   gibt es ein Objekt   zusammen mit Morphismen   und   für  , so dass
  und  
gilt und dass   mit   ein Produkt bildet und mit   ein Koprodukt.

BedeutungBearbeiten

Abelsche Kategorien sind ein wichtiges Werkzeug, um Aussagen über abelsche Gruppen zu verallgemeinern; so gelten beispielsweise das Fünferlemma oder das Schlangenlemma in jeder abelschen Kategorie. Abelsche Kategorien sind auch der natürliche Kontext für die homologische Algebra.

EigenschaftenBearbeiten

Für abelsche Kategorien gilt:

  • Die Kategorie ist ausgeglichen: Ein Morphismus ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er ein Monomorphismus und ein Epimorphismus, also ein Bimorphismus, ist.
  • Jeder Morphismus besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Faktorisierung   in einen Epimorphismus   und einen Monomorphismus  .
  • Die Homomorphie- und Isomorphiesätze gelten.

BeispieleBearbeiten

  • Jeder unitäre Ring ist die Morphismenmenge einer präadditiven Kategorie mit einem einzigen Objekt.

Additiv ist:

  • Die Kategorie Div der teilbaren Gruppen: Der Kern eines Homomorphismus   ist stets das Nullobjekt (mit Nullhomomorphismus), selbst dann, wenn   nicht injektiv ist. Daher ist die kanonische Projektion   kein Kern, obwohl es sich andererseits um einen Monomorphismus handelt.

Abelsch sind beispielsweise:

  • Die Kategorie Ab der abelschen Gruppen.
  • Die Kategorie der  -Vektorräume für einen Körper  .
  • Die Kategorie der  -Moduln für einen Ring  .
  • Die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf einem topologischen Raum.
  • Die Kategorie der endlichen abelschen Gruppen, die Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen, allgemeiner die Kategorie der endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring.

EinbettungssätzeBearbeiten

Die enge Verwandtschaft zu den abelschen Gruppen geht so weit, dass man Objekte einer abelschen Kategorie mithilfe eines geeigneten Funktors als spezielle abelsche Gruppen auffassen kann (Einbettungssatz von Mitchell):

  • Für jede kleine abelsche Kategorie   gibt es einen exakten treuen Funktor  .
  • Für jede kleine abelsche Kategorie   gibt es einen Ring   und einen volltreuen exakten Funktor von   in die Kategorie der  -Moduln.

GeschichteBearbeiten

Erste Ansätze zur Definition des Begriffes "abelsche Kategorie" stammen von S. Eilenberg und S. Mac Lane aus den frühen 50er Jahren. Der Durchbruch gelang jedoch erst mit A. Grothendiecks epochemachendem Artikel Sur quelques points d'algèbre homologique aus dem Jahre 1957.

LiteraturBearbeiten