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In Analysis und Topologie bezeichnet man als Ultrametrik eine Metrik auf einer Menge , die von den Metrik-Axiomen

  1. (Symmetrie)
  2. (Dreiecksungleichung)

für alle die letzte, die Dreiecksungleichung, in der verschärften Form

erfüllt. Ein mit einer Ultrametrik versehener Raum heißt ein ultrametrischer Raum.

BeispieleBearbeiten

Die diskrete Metrik (  für  , sonst  ) auf einer nichtleeren Menge ist eine Ultrametrik.

Die p-adische Metrik auf   und die auf dem Körper   der p-adischen Zahlen ist eine Ultrametrik.

Ist   eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge   aller Folgen in   zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen   auf den Wert   setzt, wobei   der kleinste Index ist, für den   verschieden ist von  , und den Abstand einer Folge zu sich selbst auf   setzt. Dieser metrische Raum ist dann vollständig und ultrametrisch. Die dadurch induzierte Topologie stimmt mit der abzählbaren Produkttopologie der diskreten Topologie über   überein. Wichtige Beispiele für so konstruierte Räume sind der Baire-Raum (  abzählbar unendlich) und der Cantor-Raum (  endlich mit mindestens zwei Elementen).

EigenschaftenBearbeiten

Jedes Dreieck   aus Punkten eines ultrametrischen Raums   ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis. Zum Beweis: Sind  , ,  die Abstände der drei Eckpunkte (  usw.), dann ist entweder   (  gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere, ohne Einschränkung nehmen wir an, dass  . Dann kann man aus der verschärften Dreiecksungleichung folgern, dass   sein muss (es ist  , also  , und  ), also ist   dann gleichschenklig mit kürzerer Basis  .

Jede Kugel mit strikt positivem Radius ist sowohl abgeschlossen als auch offen (aber nicht notwendig eine offene und geschlossene Kugel). (Schikhof, 1984)

Jeder Punkt in einer (offenen oder abgeschlossenen) Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel, und der Durchmesser ist kleiner oder gleich ihrem Radius. (Marc Krasner, 1944)

Zwei Kugeln sind entweder elementfremd (disjunkt), oder eine ist ganz in der anderen enthalten.

Eine Folge   in  , in der die Abstände direkt aufeinander folgender Glieder gegen 0 konvergieren, ist eine Cauchy-Folge, denn für jedes   gibt es dann ein   mit   für alle  , und somit gilt wegen der verschärften Dreiecksungleichung für alle  :  .

In einer abelschen topologischen Gruppe, deren Topologie von einer translationsinvarianten Ultrametrik erzeugt wird (z. B. einem ultrametrischen Körper wie  ) ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. Ist die Gruppe vollständig, dann konvergiert die Reihe in diesem Fall.

Ein ultrametrischer Raum ist total unzusammenhängend.

AnwendungBearbeiten

Anwendungen gibt es beispielsweise in der Theorie der sog. Spingläser in der Physik, und zwar in der Replika-Theorie von Giorgio Parisi.