Ext (Mathematik)

Funktor in der homologischen Algebra

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition

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Sei   eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten   und   aus   sei   die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

 

Auf   wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen   und   sind äquivalent, wenn es einen Morphismus   gibt, so dass das Diagramm

 

kommutiert. Dabei ist   der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus   gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse   modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit   bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.[1][2]

Funktorialität

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Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass   zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu   und der Sequenz   kann man den Push-out bilden:

 

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

 

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in  .

Bildet man die Äquivalenzklasse von   auf die Äquivalenzklasse von   ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus  .

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu   und der Sequenz   kann man folgenden Pull-back bilden:

 

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

 

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in  .

Bildet man die Äquivalenzklasse von   auf die Äquivalenzklasse von   ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus  .

Ext als Ableitung des Hom-Funktors

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Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor   und definiert

 ,

das heißt man bildet die  -te Rechtsableitung von   und wendet den so entstandenen Funktor auf   an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei   und

 

eine projektive Auflösung von   mit einem Epimorphismus   und einem Monomorphismus  , so dass  . Weiter sei   der induzierte Homomorphismus

 .

Dann ist

 .

Die Elemente aus   sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus  .[3]

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von   und   auch vertauschen kann, man erhält

 .

Zusammenhang zwischen Ext und Ext1

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In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte   und   zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung  .

Sei   eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus   definiert. Weiter sei   eine kurze exakte Sequenz mit projektivem  . Mittels der Projektivität von   kann man ein kommutatives Diagramm

 

konstruieren. Dann ist   ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von   ein Element aus   definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von   in   auf die Äquivalenzklasse von   in   ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung  , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.[4]

Daher kann man   mit   identifizieren, das heißt   kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des  -Funktors definiert werden.

Lange exakte Sequenz

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Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

 

und ein weiteres Objekt (Modul)   hat man eine exakte Sequenz

 ,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von   auf   ausdehnt, so hat man  . Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

 
 .

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

 
 .

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.[5]

Einzelnachweise

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  1. Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
  2. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
  3. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
  4. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
  5. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1