Einbettungssatz von Mitchell

mathematischer Satz

Der Einbettungssatz von Mitchell ist ein mathematisches Resultat über abelsche Kategorien. Es sagt aus, dass diese zunächst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als konkrete Kategorien von Moduln auffassen lassen. Als Folge hiervon darf etwa das Beweisverfahren durch elementweise Diagrammjagd in beliebigen abelschen Kategorien verwendet werden. Der Satz ist nach Barry Mitchell benannt.

Aussage des SatzesBearbeiten

Die genaue Aussage lautet: Sei   eine kleine abelsche Kategorie. Dann gibt es einen Ring   und einen voll treuen und exakten Funktor   von   in die Kategorie   der Links-Moduln über  .

Der Funktor   induziert eine Äquivalenz zwischen   und einer Unterkategorie von  . In   berechnete Kerne und Kokerne entsprechen über diese Äquivalenz den gewöhnlichen Kernen und Kokernen in  .

BeweisideeBearbeiten

Die Beweisidee orientiert sich am Yoneda-Lemma. Angenommen   läge bereits in  . Dann liefert jedes Objekt   einen linksexakten Funktor  . Die Zuordnung   liefert dann eine Dualität zwischen   und der Kategorie der linksexakten Funktoren von   nach  . Um   aus   zurückzugewinnen, geht man daher wie folgt vor: In der Kategorie   der linksexakten Funktoren von   nach   konstruiert man einen gewissen injektiven Kogenerator  , dessen Endomorphismenring man als   wählt. Indem man für   in   jeweils   setzt, erhält man dann einen Funktor   mit den gewünschten Eigenschaften.

Anwendung auf große KategorienBearbeiten

Unmittelbar scheint der Einbettungssatz von Mitchell das Verfahren der Diagrammjagd nur für alle kleinen abelschen Kategorien zu rechtfertigen. Ist jedoch ein Diagramm zu einer beliebigen abelschen Kategorie   gegeben, so betrachte man die kleinste abelsche volle Unterkategorie   von  , die alle im Diagramm auftretenden Objekte enthält. Dies ist eine kleine abelsche Kategorie. Anschaulich formuliert nimmt man die Menge(!) der im Diagramm verwendeten Objekte als Objekte von   und fügt dann wiederholt noch fehlende Kerne und Kokerne von Morphismen sowie Biprodukte von Objekten hinzu.

LiteraturBearbeiten

  • Mitchell’s embedding theorem. In: PlanetMath. Abgerufen am 10. Oktober 2010 (englisch).
  • B. Mitchell: The Full Embedding Theorem. In: American Journal of Math. Band 86, 1964, S. 619–637 (englisch).