Das Pushout (auch Kofaserprodukt, kokartesisches Quadrat, Fasersumme, amalgamierte Summe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion.

Pushout von ModulnBearbeiten

Es seien   und   zwei Homomorphismen zwischen Moduln über einem Ring  . Setzt man  , so ist das Pushout von   und   definiert als

  mit den Homomorphismen
  und
 

Man kann zeigen, dass   und dass   die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist   irgendein  -Modul mit Homomorphismen   und  , so dass  , so gibt es genau einen Homomorphismus   mit   und  .[1]

Pushout in KategorienBearbeiten

Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt.[2]

Es seien   und   zwei Morphismen einer Kategorie. Ein Paar   von Morphismen   dieser Kategorie heißt Pushout von  , falls gilt:

  •  
  • Ist   ein Paar von Morphismen   mit  , so gibt es genau einen Morphismus   mit   und  .

Manchmal nennt man nur das Objekt   ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen   gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm

 

wird bisweilen als Pushout bezeichnet. Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise  .

BeispieleBearbeiten

  • Jedes Pullback in einer Kategorie   ist ein Pushout in der dualen Kategorie  , denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
  • In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zu
 
gleich dem Kokern von  .
  • Ist mit obigen Bezeichnungen   das Nullobjekt einer additiven Kategorie, so ist das Pushout gleich der direkten Summe  .
  • Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der  -Moduln stets Pushouts gibt.
  • In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt   modulo dem von   erzeugten Normalteiler   mit den natürlichen Abbildungen  [3] Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert-van Kampen auf.
  • In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt   versehen mit der Eins   und der durch   bestimmten Multiplikation.
  • In der Kategorie der Mengen ist das Pushout  , wobei   die von   erzeugte Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung   ist.
  • Ähnlich lassen sich Pushouts von topologischen Räumen beschreiben. Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Louis D. Tarmin: Lineare Algebra, Moduln 2, Buch X Verlag (April 2008), ISBN 3-9346-7151-9, Satz 4.158.3
  2. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Definition 4.1
  3. Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups. Springer, Graduate Texts in Mathematics, 1995, ISBN 0-3879-4285-8, Theorem 11.58