Freies Produkt

In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu abelschen Gruppen.

KonstruktionBearbeiten

Hat man eine Familie   von (beliebigen) Gruppen gegeben, so besteht das freie Produkt   aus der Menge aller endlichen Wörter   (für gewisse   und  ), wobei folgende Konventionen gelten sollen:

  • Jedes Element   ist vom Einheitselement in   verschieden.
  •   und   sind nicht aus derselben Gruppe.

Wörter, die diese Bedingungen erfüllen, nennt man reduziert. Das leere Wort gilt auch als reduziert.

Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann ein beliebiges Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort überführt werden:

  • Sind   und   aus derselben Gruppe, also  , ersetze die beiden Elemente durch das Produkt   der beiden in der Gruppe.
  • Ist   das neutrale Element von  , so streiche es aus dem Wort.

Auf der Menge der reduzierten Wörter   zusammen mit dem leeren Wort als Einheitselement kann man nun eine Gruppenstruktur definieren. Man definiert das Produkt durch Hintereinanderschreiben

 

und gegebenenfalls Übergang zu einem reduzierten Wort durch Anwendung obiger Regeln.

Jede Gruppe   kann man als Untergruppe in   ansehen, indem man   mit der Menge der Wörter, die nur aus einem Element   und dem Einselement bestehen, identifiziert.[1]

Universelle EigenschaftBearbeiten

Setze   und schreibe   für die einbettende Abbildung.

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft:

Sind   Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus  , sodass  

gelten. (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein Koprodukt).

BeispieleBearbeiten

  • Sind   und   punktierte topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. wedge)   der beiden Räume, das heißt, die beiden Räume an den Punkten   und   zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:
 .
Der Satz von Seifert und van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).
  • Das freie Produkt von   mit sich selbst, das heißt  , ist isomorph zur von zwei Elementen erzeugten freien Gruppe. Topologisch ergibt sie sich nach Obigem als Fundamentalgruppe einer Einpunktvereinigung von zwei Kreisen, das heißt einer Acht.
  • Allgemeiner gilt: Das freie Produkt freier Gruppen ist wieder eine freie Gruppe, dabei addieren sich die Mächtigkeiten der Erzeugendensysteme.[2]
  •  .[4] Die rechte Seite ist dabei die Faktorgruppe aus der speziellen linearen Gruppe mit Koeffizienten aus   nach ihrem Zentrum.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Free Products of Groups
  2. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example I
  3. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example II
  4. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example III