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Eine universelle Eigenschaft ist eine Methode der Mathematik, und dort insbesondere der abstrakten Algebra, sich eine gewünschte Struktur ohne Angabe einer konkreten Konstruktion zu verschaffen. Dabei wird für Objekte einer bestimmten Kategorie , z. B. die Kategorie der abstrakten Algebren, eine Eigenschaft festgelegt, z. B. dass es von einem Vektorraum eine injektive Abbildung in die Algebra gebe.

Die Universalkonstruktion besteht nun darin, die Existenz eines "kleinsten" Elements der Kategorie zu behaupten, das die Eigenschaft erfüllt. Im Beispiel wäre das die Tensoralgebra von . "Kleinstes" zu sein bedeutet, dass es zu jedem Objekt der Kategorie , das die geforderte Eigenschaft erfüllt, einen eindeutig bestimmten Morphismus gibt, der mit der Eigenschaft verträglich ist, im Beispiel mit der Einbettung von vertauscht.

Das "kleinste" Element muss nicht eindeutig bestimmt sein, jedoch sind alle "kleinsten" Elemente, sofern existent, isomorph. Als Existenzbeweis wird meistens eine konkrete Konstruktion angegeben, jedoch sind meistens die Details der Konstruktion für die Theorie der Struktur unwesentlich.

Inhaltsverzeichnis

BeispieleBearbeiten

MotivationBearbeiten

Wofür sind universelle Eigenschaften gut? Hat man einmal erkannt, dass eine gewisse Konstruktion eine universelle Eigenschaft erfüllt, so gewinnt man hieraus

  • Universelle Eigenschaften definieren Objekte bis auf Isomorphismen; zu zeigen, dass zwei Objekte dieselbe universelle Eigenschaft erfüllen, ist somit eine mögliche Strategie, um deren Isomorphie zu zeigen.
  • Die genauen Details der gegebenen Konstruktion sind möglicherweise komplex und äußerst technischer Natur, aber dank der universellen Eigenschaft kann man all diese Details vergessen: Alles, was man über das Konstrukt wissen muss, ist bereits in der universellen Eigenschaft enthalten. Wenn man die universelle Eigenschaft anstelle der konkreten Details verwendet, macht dies einen Beweis meist kurz und elegant.
  • Sofern die universelle Konstruktion für jedes Objekt   einer Kategorie   durchgeführt werden kann, so erhalten wir einen Funktor in die Zielkategorie.
  • Dieser Funktor ist obendrein rechts- oder linksadjungiert zu einem gegebenen Funktor. Aber solche Funktoren vertauschen grundsätzlich mit Kolimites bzw. Limites. Auf diese Weise folgt beispielsweise sofort, dass der Kern des direkten Produktes zweier linearer Abbildungen dem Produkt der Kerne gleicht (kanonisch isomorph ist).

Formale DefinitionBearbeiten

Sei   ein Funktor von der Kategorie   in die Kategorie   und sei   ein Objekt von  . Ein universeller Morphismus von   nach   besteht aus einem Paar  , wobei   ein  -Objekt und   ein Morphismus in   ist, so dass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

  • Für jedes  -Objekt   und jeden  -Morphismus  , gibt es genau einen Morphismus  , so dass   gilt, d. h. so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Intuitiv bedeutet die Existenz von  , dass   „allgemein genug“ ist, während die Eindeutigkeit sicherstellt, dass   nicht „zu allgemein“ ist. Man kann in dieser Definition auch sämtliche Pfeile umkehren, d. h. das kategorientheoretische Dual betrachten. Ein universeller Morphismus von   nach   ist ein Paar  , wobei   ein  -Objekt und   ein Morphismus in   ist, so dass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

  • Für jedes  -Objekt   und jeden  -Morphismus  , gibt es genau einen Morphismus  , so dass   gilt, d. h. so dass das folgende Diagramm kommutiert:

EigenschaftenBearbeiten

Existenz und EindeutigkeitBearbeiten

Die bloße Definition garantiert noch keine Existenz. Zu einem Funktor   und einem Objekt   wie oben kann ein universeller Morphismus von   nach   existieren oder auch nicht. Falls jedoch ein universeller Morphismus   existiert, so ist er bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig. Ist also   ein weiteres solches Paar, so gibt es einen eindeutigen Isomorphismus   mit  . Dies erkennt man leicht, indem man die Definition der universellen Eigenschaft auf   anwendet.

Äquivalente FormulierungenBearbeiten

Die Definition eines universellen Morphismus kann auf verschiedene Weise formulieren. Mit einem Funktor   und einem  -Objekt   sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  •   ist ein universeller Morphismus von   nach  
  •   ist ein Anfangsobjekt der Kommakategorie  
  •   ist eine Darstellung des Funktors  

Entsprechend sind die dualen Aussagen äquivalent:

  •   ist ein universeller Morphismus von   nach  
  •   ist ein Endobjekt der Kommakategorie  
  •   ist eine Darstellung des Funktors  

Beziehung zu adjungierten FunktorenBearbeiten

Sei   ein universeller Morphismus von   nach   und   einer von   nach  . Aufgrund der universellen Eigenschaft existiert zu jedem Morphismus   genau ein Morphismus   mit  .

Gibt es sogar zu jedem Objekt   der Kategorie   einen universellen Morphismus nach  , so definiert die Zuordnung  ,   einen Funktor  . Die Morphismen   bilden eine natürliche Transformation von   (dem Identitätsfunktor auf  ) nach  . Dann ist   ein Paar adjungierter Funktoren, und zwar ist   links-adjungiert zu   und   rechts-adjungiert zu  .

Entsprechendes gilt mutatis mutandis im dualen Fall.

GeschichteBearbeiten

Universelle Eigenschaften wurden im Zusammenhang mit verschiedenen topologischen Konstruktionen 1948 von Pierre Samuel eingeführt. Später nutzte Nicolas Bourbaki sie in großem Umfang. Das eng verbundene Konzept der Adjungiertheit von Funktoren hat Daniel Kan unabhängig hiervon 1958 eingeführt.

Siehe auchBearbeiten