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Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst "alle Tensoren" über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Vektorraum über einem Körper   oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.

 

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird   zu einer  -graduierten, unitären, assoziativen Algebra.

Universelle EigenschaftBearbeiten

Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist   eine assoziative  -Algebra mit einem Einselement  , sowie   eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus  , so dass das Diagramm

kommutiert. Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch   sowie  .

T als FunktorBearbeiten

  ist ein Funktor von der Kategorie der  -Vektorräume in die Kategorie der  -Algebren. Für einen  -Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung)   ist   durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch   induziert wird (hierbei ist   die Einbettung).

Der Funktor   ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer  -Algebra, den zugrundeliegenden  -Vektorraum zuordnet. Daher wird   auch als die freie Algebra über   bezeichnet.

BeispielBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler  -Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang  ), so ist   isomorph zur freien assoziativen Algebra über   in   Unbestimmten. Im Fall   ist   also isomorph zum Polynomring  .

Ist allgemeiner   eine beliebige nicht-leere Menge und ist   der über   erzeugte  -Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über  , so ist   die frei über   erzeugte assoziate Algebra.

Quotientenräume der TensoralgebraBearbeiten

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra, die äußere Algebra oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.