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In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer multiplikativen zweistelligen Operation, die abgeschlossen bezüglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist.

Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein Hüllensystem, das Idealsystem genannt wird. Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender Hüllenoperator gegeben (und umgekehrt), das ist der zugehörige Idealoperator.

Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der kommutative Fall beschrieben. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, dann handelt es sich im Folgenden jedoch um Linksideale, und vertauscht man bei jedem Produkt den linken und den rechten Faktor, ergeben sich entsprechend Rechtsideale. Zweiseitige Ideale oder einfach nur Ideale sind sowohl Links- als auch Rechtsideale. Bei Kommutativität besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen.

RingidealeBearbeiten

Zahlentheoretische Untersuchungen von Zahlenbereichen, bei denen eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen nicht mehr gegeben war, führten zur Entwicklung der „klassischen“ Idealtheorie für kommutative Ringe.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Ring, dann ist ein (dedekindsches) Ideal oder  -Ideal die Trägermenge   einer Untergruppe von  , für die gilt:

 
 

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen des Ringes.
  • Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein Hüllensystem, so dass die Ideale durch den zugehörigen Hüllenoperator   gegeben sind.

BemerkungenBearbeiten

Allgemeine IdealoperatorenBearbeiten

Da in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend für die Faktorisierung ist (der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt), ist es für eine allgemeine Idealtheorie ausreichend, Halbgruppen zu betrachten:

Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe  , und es sei

 

die Komplexmultiplikation über  , wobei   die Potenzmenge von   ist.

  bildet dann einen unter anderem kommutativen, assoziativen, vollständigen multiplikativen Verband mit einem Nullelement  .

DefinitionBearbeiten

Es soll nun

 

ein Hüllenoperator auf   sein, mit der Eigenschaft, dass

 
 

  wird dann ein  -Idealoperator oder kurz  -Operator auf   genannt,   ist das  -Idealsystem bzw.  -System zu  , ein   heißt  -Ideal und   ist das von   erzeugte  -Ideal.   bezeichnet das von   erzeugte  -Ideal und   ist das von   erzeugte  -Hauptideal.

BemerkungBearbeiten

  •   ist gewöhnlich kein Ideal, weil es aber für die Idealarithmetik von Vorteil ist, soll hier auch   ein unechtes  -Hauptideal sein, falls  .
  • Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von   werden im Folgenden die Ideale, im Gegensatz zu beliebigen Teilmengen, mit einem entsprechenden Index versehen.

IdealverbändeBearbeiten

Auf   sind zwei zweistellige Operationen

 
 

gegeben, so dass   einen vollständigen Verband bildet, den Verband der  -Ideale von  . Dabei ist   die  -Idealverbindung,   der  -Idealdurchschnitt.

Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes  -Idealsystem:

 
 

Algebraische IdealoperatorenBearbeiten

  ist genau dann algebraisch, wenn   algebraisch ist, also

 
  und  

Bezeichnet   die Mächtigkeit der Menge  , so existiert mit

 

immer ein algebraischer  -Idealoperator zu  .

x-IdealoperatorenBearbeiten

Die  -Idealmultiplikation

 

besitzt zwar die für Ideale charakteristische Eigenschaft

 
 

sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genügend Eigenschaften, um   gut untersuchen zu können. Als gut geeignet für eine allgemeine Idealtheorie hat sich hingegen die folgende Klasse von  -Idealoperatoren erwiesen.

DefinitionBearbeiten

So genannte  -Idealoperatoren bzw.  -Operatoren   sind  -Idealoperatoren, bei denen Translationen

 
 

stetig sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren:

 
 

mit   für jedes   und alle  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Mit jedem  -Idealoperator   ist auch   ein  -Idealoperator.
  • Für jeden  -Idealoperator   auf   folgt sogar
 
 
  • Die zweiseitigen  -Ideale einer Halbgruppe   sind genau die Kerne von bestimmten Halbgruppenhomomorphismen von  , und es gilt
 
 
  • Ein zweiseitiges  -Idealsystem bildet einen (kommutativen,) assoziativen, quasiganzen und vollständigen multiplikativen Verband  .
  • Ebenso ist   für zweiseitige  -Ideale ein solcher multiplikativer Verband, der zudem stets algebraisch ist.

BemerkungenBearbeiten

  • Ein beliebiger  -Idealoperator induziert stets einen  -Idealoperator, so dass auch  -Idealoperatoren sehr allgemeiner Natur sind.
  • Ein anderer, abstrakter Ansatz für eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbände.
  • In der Regel können Begriffe aus der „klassischen“ Idealtheorie, wie Maximalideal, Primideal usw., problemlos für  -Ideale übernommen werden.

r-IdealoperatorenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ein  -Idealoperator   auf   ist ein  -Idealoperator, der zusätzlich translationsabgeschlossenen ist, also

 
 

und für den auch noch gilt:

 
 

EigenschaftenBearbeiten

  • Für jeden translationsabgeschlossenen  -Idealoperator   auf   folgt sogar
 
 
  • Besitzt   ein Einselement 1, dann ist jeder translationsabgeschlossene  -Idealoperator   auf   bereits ein  -Idealoperator und
 
  und  
  •   ist ebenfalls ein  -Idealoperator.
  • Jedes zweiseitige  -Hauptideal ist ein Multiplikationsideal, das heißt
 
 
  • Ein zweiseitiges   ist in   kürzbar, also
 
 
wenn   in   kürzbar ist.

BemerkungBearbeiten

  •  -Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der  -Idealsysteme von Ringen auf, weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhältnisse in   erlauben.

LiteraturBearbeiten

  • H. Prüfer: Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern. In: J. reine angew. Math. Band 168, 1932, S. 1–36.
  • K. E. Aubert: Theory of x-ideals. In: Acta Math. Band 107, 1962, S. 1–52.
  • I. Fleischer: Equivalence of x-systems and m-lattices. In: Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. 33. Contributions to Lattice Theory, Szeged, 1980. North Holland, Amsterdam/Oxford/New York 1983, S. 381–400.
  • P. Lorenzen: Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. In: Math. Z. Band 45, 1939, S. 533–553.
  • M. Ward, R. P. Dilworth: The lattice theory of ova. In: Ann. Math. Band 40, 1939, S. 600–608.
  • L. Fuchs:: Teilweise geordnete algebraische Strukturen. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966.
  • G. Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence (R. I.) 1973.