Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist ein Magma (zum Beispiel eine Gruppe) und sind und Teilmengen von , dann ist das Komplexprodukt von mit definiert als

.

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

üblich, wobei Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge selbst zum Magma.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man Halbgruppen), so ist auch   mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
  • Ist das Magma M kommutativ, so ist auch   mit dem Komplexprodukt kommutativ.
  • Ist das Magma M ein Monoid, so ist auch   mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das neutrale Element ist  , wobei   das neutrale Element von   ist.
  • Ist das Magma M eine Gruppe, so ist   mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die leere Menge in   absorbierend ist.
  • Das Komplexprodukt   zweier Untergruppen   und   einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von   und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von  :
 
  • Sind   und   endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung
 
  • Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen   und  , dass   genau dann eine Untergruppe ist, wenn   gilt. Ist   oder   ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
  • Das Komplexprodukt von Nebenklassen   und   eines Normalteilers   ist  . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von   nach  .
  • Ist   Normalteiler und   Untergruppe von  , die die Eigenschaften   und   haben, dann ist   das innere semidirekte Produkt von   mit  . Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.

LiteraturBearbeiten