Ein absorbierendes Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

DefinitionBearbeiten

Es sei   die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung  . Ein Element   heißt linksabsorbierend (bezüglich  ), wenn für alle   gilt:

 .

Analog heißt ein Element   rechtsabsorbierend (bezüglich  ), wenn für alle   gilt:

 .

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich  ), nennt man absorbierend (bezüglich  ), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer additiv notierten Halbgruppe genannt!).

EigenschaftenBearbeiten

Zu einer zweistelligen Verknüpfung   auf einer Menge   gibt es höchstens ein absorbierendes Element  , denn für absorbierende Elemente   gilt:

 .

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element   ist immer idempotent:

 .

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe)   mit mindestens zwei Elementen   mit   gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element  , denn sonst hätte   bzw.   mindestens die zwei Lösungen  , wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

BeispieleBearbeiten

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die in jedem Ring, so auch im Ring   der ganzen Zahlen, bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

In jedem beschränkten Verband gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der Aussagenlogik die wahre Aussage bezüglich der Verknüpfung mit „oder“ absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der Verknüpfung mit „und“ absorbierendes Element.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • U. Hebisch; H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.