Quasigruppe

algebraische Struktur

In der Mathematik ist eine Quasigruppe ein Magma mit einer binären Verknüpfung , in der für alle und in die Gleichungen

und

jeweils genau eine Lösung für x und y haben. Das heißt, eine Lösung existiert und ist eindeutig.

Eine Quasigruppe ist von Strukturen zu unterscheiden, in denen lediglich die sog. Kürzungseigenschaft (s. u.) gefordert wird. Dort wird zwar auch die Eindeutigkeit der Lösungen dieser Gleichungen gefordert, aber nur falls überhaupt eine Lösung existiert. Mitunter wird gefordert, dass die zugrundeliegende Menge nicht leer ist.

Ein endliches Magma ist genau dann eine Quasigruppe, wenn die Verknüpfungstabelle ein lateinisches Quadrat ist, wenn also in jeder Zeile und in jeder Spalte der Tabelle jedes Element von genau einmal vorkommt.

BeispieleBearbeiten

  1. Jede Gruppe ist eine Quasigruppe, denn   ist genau für   und   genau für   erfüllt.
  2. Auf jedem Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ungleich 2 lässt sich eine Quasigruppe definieren, indem man die Verknüpfung   einführt.[1]
  3. Auf der Punktmenge jedes Steinerschen Tripel-Systems kann man eine Quasigruppe definieren: Es wird für die Punkte dieses Blockplans definiert   und für   ist   der dritte Punkt   des eindeutigen Blockes der   und   enthält.
  4. Die Menge der von Null verschiedenen Elemente in einer nullteilerfreien endlichdimensionalen Algebra ist eine Quasigruppe bezüglich der Multiplikation (z. B. die Oktaven ohne 0).
  5. Die einzige Quasigruppe der Ordnung 2 ist die zyklische Gruppe  . Es gibt fünf Quasigruppen der Ordnung 3, von denen nur eine eine Gruppe ist. Die kleinste echte Loop (die nicht assoziativ ist) hat die Ordnung 5.

EigenschaftenBearbeiten

Jede Quasigruppe hat die Kürzungseigenschaft, d. h.

  •   folgt  
  •   folgt  

Das liegt daran, dass die linken Gleichungen bedeuten, dass   und   Lösungen der Gleichung   (bzw.  ) sind. Weil in einer Quasigruppe aber höchstens eine Lösung für die Gleichung existiert, folgt   bzw.  

Anders ausgedrückt besagt die Kürzungseigenschaft nichts anderes, als dass sowohl die Links- als auch die Rechtsmultiplikation mit einem Element   aus   eine injektive Abbildung von   in sich beschreiben   bzw.   Da Injektivität und Surjektivität für endliche Mengen identisch sind, sind die beiden Abbildungen für endliches   ersichtlich bijektiv. Aber auch im allgemeinen Fall (d. h. inklusive unendlichem  ) ergibt sich die Bijektivität, da die Surjektivität durch die Existenz der Lösung jeder Gleichung   bzw.   garantiert wird. Denn damit gibt es zu jedem Bild   einer Links- oder Rechtsmultiplikation mit dem Element   ein Urbild  

Die Bijektivität dieser beiden Abbildungen ist eine definierende Eigenschaft der Quasigruppen, d. h. sie kann ohne Weiteres zur alternativen Definition der Quasigruppen herangezogen werden: Ein Magma ist genau dann eine Quasigruppe, wenn in ihm die durch die Rechts- und Linksmultiplikation induzierten Abbildungen bijektiv sind. Die Surjektivität garantiert dabei die Existenz der Lösungen der Gleichungen (1) und (2), aus der Injektivität ergibt sich die Eindeutigkeit.

Viele Beweise aus der Gruppentheorie, zu Aussagen, die sich speziell auf Gruppen beziehen, benutzen ganz wesentlich diese Eigenschaft. Benutzen sie nur diese Eigenschaft (von allen Eigenschaften, die sich rein aus den Gruppenaxiomen ergeben), so können die gemachten Aussagen sofort auf Quasigruppen verallgemeinert werden. Aber auch viele Aussagen, die nur geringfügig stärkere Voraussetzungen machen, können auf spezielle Quasigruppen – die keine Gruppen sein müssen – verallgemeinert werden.

Die Verknüpfungstabelle einer endlichen Quasigruppe ist ein lateinisches Quadrat: Eine  -Tabelle gefüllt mit   verschiedenen Symbolen, in der in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Symbol genau einmal vorkommt. Umgekehrt ist jedes lateinische Quadrat Verknüpfungstabelle einer Quasigruppe. Damit sind lateinische Quadrate und die hier ausgeführte abstrakt-beschreibende Definition lediglich zwei unterschiedliche, prinzipiell gleichberechtigte Darstellungen desselben mathematischen Objektes endliche Quasigruppe.

ParastrophienBearbeiten

Parastrophe Verknüpfungen. Die 6 Aussagen in der ersten Spalte sind äquivalent zueinander und zu  , dadurch sind die   definiert.
Verknüpfung als Relation Permutation[2] gleichwertige Beschreibung Bedeutung
  Identität   ursprüngliche Verknüpfung
  (1,2)   umgekehrte Verknüpfung
  (2,3)   Linksbruch
  (1,3)   Rechtsbruch
  (3,2,1) kein Verknüpfungszeichen Linksbruch der umgekehrten Verknüpfung
  (1,2,3) kein Verknüpfungszeichen Rechtsbruch der umgekehrten Verknüpfung

Man kann in einer Quasigruppe   zwei weitere Verknüpfungen, die man Parastrophien nennt, definieren: Für   und   aus   sei   die Lösung von   und sei   die Lösung von   (man kann sich diese beiden als „Quasi-Brüche“ beziehungsweise Links- und Rechtsbrüche „b links-durch a“ und „b rechts-durch a“ denken). Dann gilt offenbar:

 

Dabei drücken die ersten beiden Gleichungen die Lösbarkeit von   und   aus, und die anderen beiden Gleichungen die Eindeutigkeit der Lösungen. Man kann eine Quasigruppe also auch definieren als algebraische Struktur   mit drei binären Verknüpfungen, die die eben genannten vier Gleichungen erfüllen.

Ist   eine Gruppe, dann ist   und   Ist die Quasigruppe kommutativ, dann sind die beiden Forderungen nach der eindeutigen Lösbarkeit von (1) und (2) gleichwertig und die Verknüpfungen   und   sind Umkehrungen voneinander.

Für eine beliebige Quasigruppe   sind auch  ,   und   stets Quasigruppen, wobei die letztgenannte Verknüpfung durch Umkehrung der Multiplikation   erklärt ist. Insgesamt kann man so zu einer Quasigruppe   sechs Quasigruppenverknüpfungen einführen, die als parastroph[3] zu   bezeichnet werden. Fasst man die Verknüpfung als Relation auf, zum Beispiel   für die ursprüngliche Verknüpfung, dann erkennt man, dass die parastrophen Verknüpfungen durch die Operation der 6 Permutationen in der symmetrischen Gruppe   aus   erzeugt werden,[2] vergleiche die Tabelle am Anfang dieses Abschnitts. Die sechs Parastrophen von   müssen nicht alle voneinander verschieden sein. Infolge der Bahnformel können zu einer Quasigruppenverknüpfung genau 1,2,3 oder 6 verschiedene Parastrophen existieren. → Siehe für den Fall einer endlichen Quasigruppe auch Lateinisches Quadrat#Parastrophie.

Beispiele

  • Ist   eine elementar-abelsche 2-Gruppe dann sind alle Parastrophien identisch, hinreichend dafür ist bereits, dass Q eine kommutative Quasigruppe mit Inverseneigenschaft ist, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.
  • Für eine kommutative Quasigruppe ist  , Linksbruch und Rechtsbruch sind Umkehrungen voneinander und es existieren ein oder drei verschiedene Parastrophien.

Man beachte, dass eine Parastrophe einer Gruppe im Allgemeinen keine Gruppe sein muss, jedoch ist   genau dann assoziativ, wenn ihre Umkehrung   assoziativ ist. Daher sind die zwei parastrophen Verknüpfungen   (ebenso   und  ) jeweils beide Gruppenverknüpfungen auf Q oder jeweils keine von beiden.

Gleichwertige Beschreibungen von QuasigruppenBearbeiten

Weitere alternative Definitionen sind z. B. die unter Eigenschaften beschriebene Definition einer Quasigruppe als Magma, in dem die Links- und Rechtsmultiplikation bijektive Abbildungen induzieren. Aber auch eine andere, zur anfänglich gemachten Definition nur leicht abgewandelte Form, kann schon eine etwas andere Sicht auf Quasigruppen erreichen: Eine Quasigruppe   ist ein Magma (Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung), in der in jeder Gleichung der Form   je zwei Elemente (aus  ), die Existenz des Dritten (in  ) bedingen und eindeutig bestimmen. Diese Definition ist zwar etwas redundant, da sich Existenz und Eindeutigkeit von   schon aus der Definition der inneren Verknüpfung ergeben, sie beschreibt jedoch gleichberechtigter und unmittelbarer die Beziehungen der Elemente untereinander.

Quasigruppe mit Inverseneigenschaft Bearbeiten

Eine Quasigruppe mit Inverseneigenschaft (englisch inverse property IP[4]) ist ein Magma  , in dem es für alle   ein eindeutiges Element   gibt, so dass für alle   gilt:

  (Inverseneigenschaft IP).

Wie der Name anzeigt, ist eine Quasigruppe mit Inverseneigenschaft eine Quasigruppe, was wir hier beweisen wollen. Wir zeigen zunächst, dass eine Lösung   der Gleichung   mit   und   aus   existiert; die Existenz von   für   folgt analog. Sei dazu   Dann folgt aus der linken Seite der Inversengleichung:

 

Multiplikation von links mit   gibt   also   Das bedeutet aber  , womit   eine Lösung der Gleichung   ist.

Die Eindeutigkeit der Lösung   (und analog der Lösung  ) folgt weil   nur von   und   abhängt und die Zuordnung

 

in jedem Teilschritt eindeutig ist.

LoopBearbeiten

Hat eine Quasigruppe ein neutrales Element, dann heißt sie eine Loop. Direkt aus der Definition der Quasigruppe folgt, dass in einer Loop jedes Element ein linksinverses und ein rechtsinverses Element hat,[5] die aber – im Gegensatz zur Situation in einer Gruppe – nicht übereinstimmen müssen (siehe auch inverses Element). Die Struktur von Loops ist denen von Gruppen sehr ähnlich.

Moufang-LoopBearbeiten

Eine Moufang-Loop (benannt nach Ruth Moufang) ist eine Quasigruppe  , in der für alle   und   aus   gilt:

 [6]

Diese Gleichung ist auch eine der Moufang-Identitäten, nämlich Identität (M2').

Wie der Name anzeigt, ist eine Moufang-Loop eine Loop, was wir hier beweisen wollen. Sei   ein Element von   und   das (eindeutig bestimmte) Element mit   Dann gilt für jedes   in  :

 

also nach dem Kürzen   Damit ist   ein linksneutrales Element. Sei nun   das (eindeutig bestimmte) Element mit   Dann gilt   da   linksneutral ist, und

 

Kürzen von   ergibt   also ist   ein rechtsneutrales Element. Schließlich erhalten wir   also ist   ein beidseitig neutrales Element.

Da in einer Loop Links- und Rechtsinverse existieren, existieren diese demnach auch in einer Moufang-Loop. In einer Moufang-Loop sind die Links- und Rechtsinverse jedoch sogar identisch: Zu   aus   seien   und   Links- und Rechtsinverses. Dann folgt aus  , da   (rechts-)neutral ist,   Multiplikation von rechts mit   gibt:

 

Kürzen von   ergibt   Somit ist   das inverse Element von   (eindeutig, da   als Linksinverses bzw. als Rechtsinverses bereits in einer Loop eindeutig ist).

Jede assoziative Quasigruppe ist eine Moufang-Loop, und als assoziative Loop folglich eine Gruppe (da die Gruppenaxiome dann offensichtlich erfüllt sind). Dies zeigt, dass die Gruppen genau die assoziativen Quasigruppen sind (bzw. jene Quasigruppen, die gleichzeitig auch Halbgruppen sind).

AnwendungenBearbeiten

Loops treten zum Beispiel auf, wenn in der synthetischen Geometrie

  1. eine affine Ebene mit einem Koordinatenternärkörper als Koordinatenbereich ausgestattet wird,
  2. eine affine Translationsebene mit einem Koordinatenquasikörper als Koordinatenbereich ausgestattet wird.

In beiden Fällen ist die additive Struktur und die multiplikative Struktur des Koordinatenbereichs eine Loop. – Das zweite Beispiel ist ein Spezialfall des ersten, wobei man zur Einführung von Koordinaten in einer affinen Translationsebene anders ansetzen kann als im allgemeineren Fall.

→ Siehe dazu Ternärkörper.

MorphismenBearbeiten

Sind   Quasigruppen und   Abbildungen, dann heißt das Tripel   ein Homotopismus[3] wenn für alle   gilt

 .

Sind alle drei Abbildungen bijektiv, dann heißt   ein Isotopismus[3] und die beiden Quasigruppen heißen isotop zueinander.

Sind die drei Abbildungen identisch  , dann heißt   Homomorphismus.[3] Ist   darüber hinaus bijektiv, dann Isomorphismus.[3]

Durch drei bijektive Selbstabbildungen   kann auf jeder Quasigruppe   eine neue isotope Quasigruppenverknüpfung eingeführt werden durch

 .

Jede zu   isotope Quasigruppe ist isomorph zu einer der so erzeugten Verknüpfungsstrukturen  . Wenn die Verknüpfungen identisch sind,  , nennt man   einen Autotopismus[3] von  . Sind darüber hinaus die drei Abbildungen identisch  , so nennt man   einen Automorphismus.

  • Eine wichtige Anwendung haben Isotopismen in der Geometrie, siehe dazu Isotopie (Geometrie).
  • Für endliche Quasigruppen führen die Isotopismen zu einer Äquivalenzeinteilung der zugehörigen lateinischen Quadrate in Isotopieklassen, siehe Lateinisches Quadrat#Aequivalenz.

Isotopie und ParastrophieBearbeiten

Isotopie und Parastrophie können auch zusammenfallen: Ist   eine Quasigruppe mit Inverseneigenschaft, dann gilt

  und  

damit ist die Linksbruchparastrophe   isotop zu   über den Isotopismus   und die Rechtsbruchparastrophe   über den Isotopismus  

LiteraturBearbeiten

  • O. Chein, H. O. Pflugfelder, J. D. H. Smith (Hrsg.): Quasigroups and Loops: Theory and Application (= Sigma Series in Pure Mathematics. Band 8). Heldermann Verlag, Berlin 1990, ISBN 3-88538-008-0.
  • Hall, Marshall: The theory of groups. © Macmillan New York, 1959.
  • Kurosch, Aleksander Gennadljewitsch: Gruppentheorie.

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise/FußnotenBearbeiten

  1. Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-35338-0, Kap. 1, S. 122.
  2. a b Die Permutationsgruppe   operiert auf  , der Menge aller Tripel von Elementen der Quasigruppe. Dabei wird die ursprüngliche Verknüpfung   auf eine zu ihr parastrophe Quasigruppenverknüpfung abgebildet.
  3. a b c d e f Günther Eisenreich: Lexikon der Algebra. Akademie-Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-05-500231-8.
  4. T. E. Evans: Chapter I, Varieties of loops and quasigroups in Chein, Pflugfelder, Smith (1990).
  5. Nämlich die Lösungen der Gleichungen   und  
  6. Wenn man für die Reihenfolge des Ausrechnens der Verknüpfungen „von links nach rechts“ als Standard annimmt und solche Klammern, die diese Reihenfolge ergeben, weglässt, sieht man besser, was gemeint ist:   Informell ausgedrückt: Man kann erst die beiden äußeren Paare ausrechnen und dann „normal“ (von links nach rechts) weiterrechnen, oder erst „die Mitte“ ausrechnen und dann „normal“ weitermachen – beides führt zum selben Ergebnis.