Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle die Gleichungen

(M1)

und

(M2)

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

(M1')

und

(M2')

In einer Quasigruppe impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.

Bezug zu anderen Formen der AssoziativitätBearbeiten

Bei den Moufang-Identitäten handelt es sich um eine abgeschwächte Form des Assoziativgesetzes. Außer für assoziative Verknüpfungen gelten die Moufang-Identitäten auch für Alternativkörper wie zum Beispiel die Oktonionen.

Gelten in einem Magma   mit einem neutralen Element   die Moufang-Identitäten (M1) und (M2), dann gilt für die Verknüpfung  

 
 

Gelten in   mit einem neutralen Element   jedoch die Moufang-Identitäten (M1') und (M2'), dann gilt für die Verknüpfung  

 
 

In einem flexiblen Magma  , in dem für die Verknüpfung   also das Flexibilitätsgesetz gilt, folgt M2' direkt aus M2 (und umgekehrt), und es gelten folgende zusätzliche Identitäten

(M3, folgt aus M1)  
(M3', folgt aus M1')  

LiteraturBearbeiten

  • John Horton Conway, Derek Smith: On Quaternions and Octonions Hardcover, 2003, ISBN 1568811349, insbesondere S. 88
  • Kenneth Kunen: Moufang quasigroups, Journal of Algebra, Vol. 183, Issue 1, 1996, Seiten 231–234
  • Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann., Vol. 110, 1935, Seiten 416–430